Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmulmpt Unicode version

Theorem mzpmulmpt 26731
Description: Product of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpmulmpt 26731. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpmulmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem mzpmulmpt
StepHypRef Expression
1 mzpf 26725 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
2 ffn 5577 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  Fn  ( ZZ 
^m  V ) )
4 mzpf 26725 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
5 ffn 5577 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  Fn  ( ZZ 
^m  V ) )
7 ovex 6092 . . . 4  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
8 ofmpteq 26708 . . . 4  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  e.  _V  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  Fn  ( ZZ 
^m  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  B )  Fn  ( ZZ 
^m  V ) )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  o F  x.  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A  x.  B ) ) )
97, 8mp3an1 1266 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  B )  Fn  ( ZZ 
^m  V ) )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  o F  x.  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A  x.  B ) ) )
103, 6, 9syl2an 464 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  o F  x.  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A  x.  B ) ) )
11 mzpmul 26728 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  o F  x.  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  B ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
1210, 11eqeltrrd 2505 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2943    e. cmpt 4253    Fn wfn 5435   -->wf 5436   ` cfv 5440  (class class class)co 6067    o Fcof 6289    ^m cmap 7004    x. cmul 8979   ZZcz 10266  mzPolycmzp 26711
This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  26732  mzpexpmpt  26734  mzpsubst  26737  mzpcompact2lem  26740  diophun  26764  dvdsrabdioph  26802  rmydioph  27017  rmxdioph  27019  expdiophlem2  27025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-n0 10206  df-z 10267  df-mzpcl 26712  df-mzp 26713
  Copyright terms: Public domain W3C validator