Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmulmpt Structured version   Unicode version

Theorem mzpmulmpt 26837
Description: Product of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpmulmpt 26837. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpmulmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem mzpmulmpt
StepHypRef Expression
1 mzpf 26831 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
2 ffn 5620 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  Fn  ( ZZ 
^m  V ) )
4 mzpf 26831 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
5 ffn 5620 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  Fn  ( ZZ 
^m  V ) )
7 ovex 6135 . . . 4  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
8 ofmpteq 26814 . . . 4  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  e.  _V  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  Fn  ( ZZ 
^m  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  B )  Fn  ( ZZ 
^m  V ) )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  o F  x.  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A  x.  B ) ) )
97, 8mp3an1 1267 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  B )  Fn  ( ZZ 
^m  V ) )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  o F  x.  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A  x.  B ) ) )
103, 6, 9syl2an 465 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  o F  x.  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A  x.  B ) ) )
11 mzpmul 26834 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  o F  x.  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  B ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
1210, 11eqeltrrd 2517 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962    e. cmpt 4291    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    o Fcof 6332    ^m cmap 7047    x. cmul 9026   ZZcz 10313  mzPolycmzp 26817
This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  26838  mzpexpmpt  26840  mzpsubst  26843  mzpcompact2lem  26846  diophun  26870  dvdsrabdioph  26908  rmydioph  27123  rmxdioph  27125  expdiophlem2  27131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-mzpcl 26818  df-mzp 26819
  Copyright terms: Public domain W3C validator