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Theorem nacsfix 26720
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
Distinct variable groups:    z, C, y    y, F, z    z, X, y    x, y, z, F
Allowed substitution hints:    C( x)    X( x)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables  a 
b  c  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frn 5589 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN0 --> C  ->  ran  F  C_  C )
213ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  C_  C )
3 elpw2g 4355 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( ran  F  e.  ~P C  <->  ran  F  C_  C ) )
433ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( ran  F  e.  ~P C  <->  ran  F  C_  C ) )
52, 4mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  e. 
~P C )
6 elex 2956 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  e.  ~P C  ->  ran  F  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  e. 
_V )
8 ffn 5583 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN0 --> C  ->  F  Fn  NN0 )
983ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  F  Fn  NN0 )
10 0nn0 10226 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
11 fnfvelrn 5859 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  ran  F
)
129, 10, 11sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( F `  0 )  e. 
ran  F )
13 ne0i 3626 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  =/=  (/) )
15 nn0re 10220 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
1615ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  -> 
a  e.  RR )
17 nn0re 10220 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
1817ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  -> 
b  e.  RR )
19 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  b  e.  NN0 )
20 simpll3 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
21 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  a  e.  NN0 )
22 nn0z 10294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ZZ )
23 nn0z 10294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
24 eluz 10489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( b  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  b ) )
2522, 23, 24syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( b  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  b ) )
2625biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  a  <_  b )  ->  b  e.  (
ZZ>= `  a ) )
2726adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  b  e.  ( ZZ>= `  a )
)
28 incssnn0 26719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  ( ZZ>= `  a )
)  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  b )
)
2920, 21, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  b )
)
30 ssequn1 3509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  a ) 
C_  ( F `  b )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) )
3129, 30sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) )
32 eqimss 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) )  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  b ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  b )
)
34 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( F `  c )  =  ( F `  b ) )
3534sseq2d 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  b )
) )
3635rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  b ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
3719, 33, 36syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
38 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  a  e.  NN0 )
39 simpll3 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
40 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  b  e.  NN0 )
41 eluz 10489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  (
ZZ>= `  b )  <->  b  <_  a ) )
4223, 22, 41syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( a  e.  (
ZZ>= `  b )  <->  b  <_  a ) )
4342biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  b  <_  a )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  b ) )
4443adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  a  e.  ( ZZ>= `  b )
)
45 incssnn0 26719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  b  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  b )
)  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  a )
)
4639, 40, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  a )
)
47 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  b ) 
C_  ( F `  a )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  a ) )
4846, 47sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  a ) )
49 eqimss 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) )  =  ( F `  a )  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  a ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  a )
)
51 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  ( F `  c )  =  ( F `  a ) )
5251sseq2d 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  a )
) )
5352rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  a ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
5438, 50, 53syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
5516, 18, 37, 54lecasei 9169 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
5655ralrimivva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
57 uneq1 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  (
y  u.  z )  =  ( ( F `
 a )  u.  z ) )
5857sseq1d 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  (
( y  u.  z
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w
) )
5958rexbidv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E. w  e.  ran  F ( y  u.  z
)  C_  w  <->  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
6059ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z
)  C_  w  <->  A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
6160ralrn 5865 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. z  e. 
ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
62 uneq2 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  z )  =  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) ) )
6362sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  u.  z
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  w
) )
6463rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  ( E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z
)  C_  w  <->  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w ) )
6564ralrn 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a
)  u.  z ) 
C_  w  <->  A. b  e.  NN0  E. w  e. 
ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w ) )
66 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
6766rexrn 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( E. w  e.  ran  F
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  w  <->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
6867ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. b  e.  NN0  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w 
<-> 
A. b  e.  NN0  E. c  e.  NN0  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
6965, 68bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a
)  u.  z ) 
C_  w  <->  A. b  e.  NN0  E. c  e. 
NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7069ralbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. a  e.  NN0  A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w 
<-> 
A. a  e.  NN0  A. b  e.  NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7161, 70bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
729, 71syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
7356, 72mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z )  C_  w )
74 isipodrs 14577 . . . . 5  |-  ( (toInc `  ran  F )  e. Dirset  <->  ( ran  F  e.  _V  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w ) )
757, 14, 73, 74syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  (toInc `  ran  F )  e. Dirset )
76 isnacs3 26718 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) ) )
7776simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )
78773ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )
79 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  -> 
(toInc `  y )  =  (toInc `  ran  F ) )
8079eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( (toInc `  y
)  e. Dirset  <->  (toInc `  ran  F )  e. Dirset ) )
81 unieq 4016 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  ->  U. y  =  U. ran  F )
82 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  -> 
y  =  ran  F
)
8381, 82eleq12d 2503 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( U. y  e.  y  <->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
8480, 83imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y )  <-> 
( (toInc `  ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e.  ran  F ) ) )
8584rspcva 3042 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  e.  ~P C  /\  A. y  e. 
~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )  ->  ( (toInc ` 
ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
865, 78, 85syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (toInc ` 
ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
8775, 86mpd 15 . . 3  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  U. ran  F  e.  ran  F )
88 fvelrnb 5766 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( U. ran  F  e.  ran  F  <->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )
899, 88syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( U. ran  F  e.  ran  F  <->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )
9087, 89mpbid 202 . 2  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F )
91 fvssunirn 5746 . . . . . . 7  |-  ( F `
 z )  C_  U.
ran  F
92 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  =  U. ran  F )
9391, 92syl5sseqr 3389 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  z )  C_  ( F `  y )
)
94 simpll3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
95 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  y  e.  NN0 )
96 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)
97 incssnn0 26719 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  z )
)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  z )
)
9993, 98eqssd 3357 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
10099ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
101100expr 599 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( F `  y
)  =  U. ran  F  ->  A. z  e.  (
ZZ>= `  y ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
102101reximdva 2810 . 2  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  NN0  ( F `
 y )  = 
U. ran  F  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) ) )
10390, 102mpd 15 1  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    <_ cle 9111   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478  Moorecmre 13797  Dirsetcdrs 14374  toInccipo 14567  NoeACScnacs 26710
This theorem is referenced by:  hbt  27266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ocomp 13540  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-preset 14375  df-drs 14376  df-poset 14393  df-ipo 14568  df-nacs 26711
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