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Theorem nalset 4152
Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
nalset  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nalset
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexn 1566 . 2  |-  ( A. x E. y  -.  y  e.  x  <->  -.  E. x A. y  y  e.  x )
2 ax-sep 4142 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )
3 elequ1 1688 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  y  <->  y  e.  y ) )
4 elequ1 1688 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ1 1688 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6 elequ2 1690 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
75, 6bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  y ) )
87notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  y  e.  y ) )
94, 8anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
103, 9bibi12d 312 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  y  <-> 
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  <->  ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) ) )
1110spv 1943 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  -> 
( y  e.  y  <-> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
12 pclem6 896 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1413eximi 1563 . . 3  |-  ( E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  E. y  -.  y  e.  x )
152, 14ax-mp 8 . 2  |-  E. y  -.  y  e.  x
161, 15mpgbi 1536 1  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685
This theorem is referenced by:  vprc  4153  kmlem2  7773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-sep 4142
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532
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