Theorem nalset 2702

Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30.

Assertion

Ref	Expression
nalset	|- -. E.xA.y y e. x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem nalset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexn 1040	. 2 |- (A.xE.y -. y e. x <-> -. E.xA.y y e. x)
2		visset 1804	. . . 4 |- x e. V
3	2	zfauscl 2695	. . 3 |- E.yA.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z))
4		elequ1 1132	. . . . . . 7 |- (z = y -> (z e. y <-> y e. y))
5		elequ1 1132	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (z e. x <-> y e. x))
6		elequ1 1132	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (z e. z <-> y e. z))
7		elequ2 1133	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (y e. z <-> y e. y))
8	6, 7	bitrd 526	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (z e. z <-> y e. y))
9	8	negbid 609	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (-. z e. z <-> -. y e. y))
10	5, 9	anbi12d 626	. . . . . . 7 |- (z = y -> ((z e. x /\ -. z e. z) <-> (y e. x /\ -. y e. y)))
11	4, 10	bibi12d 627	. . . . . 6 |- (z = y -> ((z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) <-> (y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y))))
12	11	a4v 1267	. . . . 5 |- (A.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> (y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y)))
13		pclem6 739	. . . . 5 |- ((y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y)) -> -. y e. x)
14	12, 13	syl 10	. . . 4 |- (A.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> -. y e. x)
15	14	19.22i 1036	. . 3 |- (E.yA.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> E.y -. y e. x)
16	3, 15	ax-mp 7	. 2 |- E.y -. y e. x
17	1, 16	mpgbi 984	1 |- -. E.xA.y y e. x

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977

This theorem is referenced by:  nvelv 2703  kmlem2 4738

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-gen 960  ax-8 961  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-ext 1452  ax-sep 2693

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-v 1803

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