Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nb3grapr2 Structured version   Unicode version

Theorem nb3grapr2 21455
 Description: The neighbors of a vertex in a graph with three elements are an unordered pair of the other vertices if and only if all vertices are connected with each other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nb3grapr2 USGrph Neighbors Neighbors Neighbors

Proof of Theorem nb3grapr2
StepHypRef Expression
1 3anan32 948 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4 USGrph
3 prcom 3874 . . . . . . . . . . 11
43eleq1i 2498 . . . . . . . . . 10
54biimpi 187 . . . . . . . . 9
65pm4.71i 614 . . . . . . . 8
76anbi2i 676 . . . . . . 7
8 anass 631 . . . . . . 7
97, 8bitr4i 244 . . . . . 6
109anbi1i 677 . . . . 5
11 anass 631 . . . . 5
1210, 11bitri 241 . . . 4
132, 12syl6bb 253 . . 3 USGrph
14 prcom 3874 . . . . . . . . . 10
1514eleq1i 2498 . . . . . . . . 9
1615biimpi 187 . . . . . . . 8
1716pm4.71i 614 . . . . . . 7
1817anbi1i 677 . . . . . 6
19 df-3an 938 . . . . . 6
2018, 19bitr4i 244 . . . . 5
21 prcom 3874 . . . . . . . . . 10
2221eleq1i 2498 . . . . . . . . 9
2322biimpi 187 . . . . . . . 8
2423pm4.71i 614 . . . . . . 7
2524anbi2i 676 . . . . . 6
26 3anass 940 . . . . . 6
2725, 26bitr4i 244 . . . . 5
2820, 27anbi12i 679 . . . 4
29 an6 1263 . . . 4
3028, 29bitri 241 . . 3
3113, 30syl6bb 253 . 2 USGrph
32 nb3graprlem1 21452 . . . . 5 USGrph Neighbors
3332bicomd 193 . . . 4 USGrph Neighbors
34 3ancoma 943 . . . . . . 7
3534biimpi 187 . . . . . 6
36 tpcoma 3892 . . . . . . . . 9
3736eqeq2i 2445 . . . . . . . 8
3837biimpi 187 . . . . . . 7
3938anim1i 552 . . . . . 6 USGrph USGrph
40 nb3graprlem1 21452 . . . . . 6 USGrph Neighbors
4135, 39, 40syl2an 464 . . . . 5 USGrph Neighbors
4241bicomd 193 . . . 4 USGrph Neighbors
43 3anrot 941 . . . . . . 7
4443biimpri 198 . . . . . 6
45 tprot 3891 . . . . . . . . . 10
4645eqcomi 2439 . . . . . . . . 9
4746eqeq2i 2445 . . . . . . . 8
4847biimpi 187 . . . . . . 7
4948anim1i 552 . . . . . 6 USGrph USGrph
50 nb3graprlem1 21452 . . . . . 6 USGrph Neighbors
5144, 49, 50syl2an 464 . . . . 5 USGrph Neighbors
5251bicomd 193 . . . 4 USGrph Neighbors
5333, 42, 523anbi123d 1254 . . 3 USGrph Neighbors Neighbors Neighbors
54533adant3 977 . 2 USGrph Neighbors Neighbors Neighbors
5531, 54bitrd 245 1 USGrph Neighbors Neighbors Neighbors
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cpr 3807  ctp 3808  cop 3809   class class class wbr 4204   crn 4871  (class class class)co 6073   USGrph cusg 21357   Neighbors cnbgra 21422 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-usgra 21359  df-nbgra 21425
 Copyright terms: Public domain W3C validator