Theorem nd1 4861

Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd1	|- (A.x x = y -> -. A.x y e. z)

Proof of Theorem nd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4522	. . 3 |- -. z e. z
2		stdpc4 1168	. . . 4 |- (A.y y e. z -> [z / y]y e. z)
3	1	pm2.21i 77	. . . . 5 |- (z e. z -> A.y z e. z)
4		elequ1 1123	. . . . 5 |- (y = z -> (y e. z <-> z e. z))
5	3, 4	sbie 1179	. . . 4 |- ([z / y]y e. z <-> z e. z)
6	2, 5	sylib 198	. . 3 |- (A.y y e. z -> z e. z)
7	1, 6	mto 106	. 2 |- -. A.y y e. z
8		ax-10 1103	. 2 |- (A.x x = y -> (A.x y e. z -> A.y y e. z))
9	7, 8	mtoi 107	1 |- (A.x x = y -> -. A.x y e. z)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 950   = wceq 1099   e. wcel 1105  [wsbc 1153

This theorem is referenced by:  axrepnd 4869  axinfndlem1 4880  axinfnd 4881  axacndlem1 4882  axacndlem2 4883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-reg 4517

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384

Copyright terms: Public domain