Theorem nd3 4920

Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd3	|- (A.x x = y -> -. A.z x e. y)

Proof of Theorem nd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-4 971	. 2 |- (A.x x = y -> x = y)
2		elirrv 4578	. . 3 |- -. x e. x
3		elequ2 1135	. . 3 |- (x = y -> (x e. x <-> x e. y))
4	2, 3	mtbii 715	. 2 |- (x = y -> -. x e. y)
5		ax-4 971	. . 3 |- (A.z x e. y -> x e. y)
6	5	con3i 98	. 2 |- (-. x e. y -> -. A.z x e. y)
7	1, 4, 6	3syl 20	1 |- (A.x x = y -> -. A.z x e. y)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956

This theorem is referenced by:  nd4 4921  axrepnd 4926  axpowndlem3 4931  axinfnd 4938  axacndlem3 4941  axacnd 4944

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-reg 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409

Copyright terms: Public domain