Theorem ndmoprcom 4108

Description: Any operation is commutative outside its domain.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	|- B e. V
ndmopr.2	|- dom F = (S X. S)
ndmopr.3	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ndmoprcom	|- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (BFA))

Proof of Theorem ndmoprcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmopr.1	. . 3 |- B e. V
2		ndmopr.2	. . 3 |- dom F = (S X. S)
3	1, 2	ndmopr 4106	. 2 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (/))
4		ancom 437	. . . 4 |- ((A e. S /\ B e. S) <-> (B e. S /\ A e. S))
5	4	notbii 185	. . 3 |- (-. (A e. S /\ B e. S) <-> -. (B e. S /\ A e. S))
6		ndmopr.3	. . . 4 |- A e. V
7	6, 2	ndmopr 4106	. . 3 |- (-. (B e. S /\ A e. S) -> (BFA) = (/))
8	5, 7	sylbi 197	. 2 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (BFA) = (/))
9	3, 8	eqtr4d 1553	1 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (BFA))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857  (/)c0 2332   X. cxp 3249  dom cdm 3251  (class class class)co 4021

This theorem is referenced by:  addcompi 5176  mulcompi 5178  addcompq 5216  mulcompq 5218  addcompr 5277  mulcompr 5279  addcomsr 5350  mulcomsr 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-xp 3265  df-cnv 3267  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fv 3279  df-opr 4023

Copyright terms: Public domain