Theorem ndmoprg 4034

Description: The value of an operation outside its domain.

Assertion

Ref	Expression
ndmoprg	|- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C /\ -. (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Proof of Theorem ndmoprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1532	. . . . 5 |- (dom F = (R X. S) -> (<.A, B>. e. dom F <-> <.A, B>. e. (R X. S)))
2		opelxpg 3211	. . . . 5 |- (B e. C -> (<.A, B>. e. (R X. S) <-> (A e. R /\ B e. S)))
3	1, 2	sylan9bb 539	. . . 4 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (<.A, B>. e. dom F <-> (A e. R /\ B e. S)))
4	3	negbid 610	. . 3 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (-. <.A, B>. e. dom F <-> -. (A e. R /\ B e. S)))
5		ndmfv 3736	. . . 4 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (F` <.A, B>.) = (/))
6		df-opr 3956	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
7	5, 6	syl5eq 1516	. . 3 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (AFB) = (/))
8	4, 7	syl6bir 215	. 2 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (-. (A e. R /\ B e. S) -> (AFB) = (/)))
9	8	3impia 829	1 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C /\ -. (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  (/)c0 2276  <.cop 2407   X. cxp 3163  dom cdm 3165  ` cfv 3177  (class class class)co 3954

This theorem is referenced by:  curry1val 4090

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193  df-opr 3956

Copyright terms: Public domain