Theorem ndmoprrcl 4032

Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	|- B e. V
ndmopr.2	|- dom F = (S X. S)
ndmoprrcl.3	|- -. (/) e. S

Assertion

Ref	Expression
ndmoprrcl	|- ((AFB) e. S -> (A e. S /\ B e. S))

Proof of Theorem ndmoprrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmoprrcl.3	. . 3 |- -. (/) e. S
2		ndmopr.1	. . . . 5 |- B e. V
3		ndmopr.2	. . . . 5 |- dom F = (S X. S)
4	2, 3	ndmopr 4031	. . . 4 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (/))
5	4	eleq1d 1532	. . 3 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> ((AFB) e. S <-> (/) e. S))
6	1, 5	mtbiri 715	. 2 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> -. (AFB) e. S)
7	6	a3i 74	1 |- ((AFB) e. S -> (A e. S /\ B e. S))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  (/)c0 2270   X. cxp 3158  dom cdm 3160  (class class class)co 3948

This theorem is referenced by:  ndmoprass 4034  ndmoprdistr 4035  ndmord 4036  ndmordi 4037  caoprmo 4056  brecop2 4291  eceqopreq 4297  mulcanpi 4999  recclpq 5044  ltexpq 5052  ltexpq2 5053  nsmallpq 5055  ltbtwnpq 5056  ltaddpr 5112  ltaddpr2 5113  ltexprlem2 5115  ltexprlem3 5116  ltexprlem4 5117  ltexprlem6 5119  ltexprlem7 5120  ltexpri 5121  addcanpr 5124  recexpr 5132  recexsrlem 5184  mappsrpr 5190  supsrlem1 5197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188  df-opr 3950

Copyright terms: Public domain