Theorem ndmord 3990

Description: Elimination of redundant antecedents in an ordering law.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	|- B e. V
ndmopr.2	|- dom F = (S X. S)
ndmord.3	|- A e. V
ndmord.4	|- R (_ (S X. S)
ndmord.5	|- -. (/) e. S
ndmord.6	|- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Assertion

Ref	Expression
ndmord	|- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Proof of Theorem ndmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmord.6	. . 3 |- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))
2	1	3expia 832	. 2 |- ((A e. S /\ B e. S) -> (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB))))
3		ndmopr.1	. . . . 5 |- B e. V
4		ndmord.4	. . . . 5 |- R (_ (S X. S)
5	3, 4	brel 3185	. . . 4 |- (ARB -> (A e. S /\ B e. S))
6		oprex 3922	. . . . . 6 |- (CFB) e. V
7	6, 4	brel 3185	. . . . 5 |- ((CFA)R(CFB) -> ((CFA) e. S /\ (CFB) e. S))
8		ndmord.3	. . . . . . . 8 |- A e. V
9		ndmopr.2	. . . . . . . 8 |- dom F = (S X. S)
10		ndmord.5	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. S
11	8, 9, 10	ndmoprrcl 3986	. . . . . . 7 |- ((CFA) e. S -> (C e. S /\ A e. S))
12	11	pm3.27d 325	. . . . . 6 |- ((CFA) e. S -> A e. S)
13	3, 9, 10	ndmoprrcl 3986	. . . . . . 7 |- ((CFB) e. S -> (C e. S /\ B e. S))
14	13	pm3.27d 325	. . . . . 6 |- ((CFB) e. S -> B e. S)
15	12, 14	anim12i 333	. . . . 5 |- (((CFA) e. S /\ (CFB) e. S) -> (A e. S /\ B e. S))
16	7, 15	syl 10	. . . 4 |- ((CFA)R(CFB) -> (A e. S /\ B e. S))
17	5, 16	pm5.21ni 675	. . 3 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))
18	17	a1d 12	. 2 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB))))
19	2, 18	pm2.61i 126	1 |- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 772   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786   (_ wss 2018  (/)c0 2251   class class class wbr 2587   X. cxp 3131  dom cdm 3133  (class class class)co 3902

This theorem is referenced by:  ltapi 4953  ltmpi 4954  ltapq 4999  ltmpq 5000  ltapr 5074  ltasr 5132

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-cnv 3149  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fv 3161  df-opr 3904

Copyright terms: Public domain