Theorem negclt 5380

Description: Closure law for negative.

Assertion

Ref	Expression
negclt	|- (A e. CC -> -uA e. CC)

Proof of Theorem negclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 5340	. . 3 |- 0 e. CC
2		subclt 5379	. . 3 |- ((0 e. CC /\ A e. CC) -> (0 - A) e. CC)
3	1, 2	mpan 697	. 2 |- (A e. CC -> (0 - A) e. CC)
4		df-neg 5370	. 2 |- -uA = (0 - A)
5	3, 4	syl5eqel 1555	1 |- (A e. CC -> -uA e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 960  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   - cmin 5304  -ucneg 5305

This theorem is referenced by:  negcl 5381  addsubasst 5395  subnegt 5406  subcan2t 5414  negcon1t 5422  subcant 5424  mulneg2t 5464  negdi2t 5468  negsubdit 5469  negsubdi2t 5470  neg2subt 5471  subsub4t 5476  nnncan1t 5479  addsub4t 5485  mulsubt 5489  pnncant 5492  recextlem1 5694  divnegt 5775  divsubdirt 5776  divsubdirtOLD 5777  negeq0t 5808  zaddclt 6167  zltp1let 6183  zeot 6201  ceim1lt 6251  shftval4t 6350  shftcan2t 6354  shftcan1t 6355  seqzval2t 6554  sqnegt 6611  imret 6774  resubt 6806  imsubt 6809  cjsubt 6816  recjt 6818  absnegt 6832  clim2serzt 7134  clim2serz 7145  geolimilem 7235  negfcncf 7269  efcant 7368  efne0t 7369  efsubt 7371  reeff1o 7426  efi4pt 7435  sinnegt 7442  cosnegt 7443  efmivalt 7448  sinsubt 7455  cossubt 7456  sincossqt 7461  cnaddabl 8122  vcsubdir 8171  ipasslem2 8487  sin2pim 8687  cos2pim 8688  sinmpi 8689  cosmpi 8690  sinppi 8691  hvsubdistr2t 8912  spanunsn 9497  mslb1 10600

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370

Copyright terms: Public domain