MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negexsr Unicode version

Theorem negexsr 8966
Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
negexsr  |-  ( A  e.  R.  ->  E. x  e.  R.  ( A  +R  x )  =  0R )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem negexsr
StepHypRef Expression
1 m1r 8946 . . 3  |-  -1R  e.  R.
2 mulclsr 8948 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  -1R )  e.  R. )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )
4 pn0sr 8965 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
5 oveq2 6080 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  .R  -1R )  ->  ( A  +R  x )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
65eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( x  =  ( A  .R  -1R )  ->  ( ( A  +R  x )  =  0R  <->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R ) )
76rspcev 3044 . 2  |-  ( ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  /\  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  +R  x )  =  0R )
83, 4, 7syl2anc 643 1  |-  ( A  e.  R.  ->  E. x  e.  R.  ( A  +R  x )  =  0R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698  (class class class)co 6072   R.cnr 8731   0Rc0r 8732   -1Rcm1r 8734    +R cplr 8735    .R cmr 8736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ec 6898  df-qs 6902  df-ni 8738  df-pli 8739  df-mi 8740  df-lti 8741  df-plpq 8774  df-mpq 8775  df-ltpq 8776  df-enq 8777  df-nq 8778  df-erq 8779  df-plq 8780  df-mq 8781  df-1nq 8782  df-rq 8783  df-ltnq 8784  df-np 8847  df-1p 8848  df-plp 8849  df-mp 8850  df-ltp 8851  df-plpr 8921  df-mpr 8922  df-enr 8923  df-nr 8924  df-plr 8925  df-mr 8926  df-0r 8928  df-1r 8929  df-m1r 8930
  Copyright terms: Public domain W3C validator