MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negneg Unicode version

Theorem negneg 9311
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negneg  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )

Proof of Theorem negneg
StepHypRef Expression
1 df-neg 9254 . . 3  |-  -u -u A  =  ( 0  - 
-u A )
2 0cn 9044 . . . 4  |-  0  e.  CC
3 subneg 9310 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0  -  -u A
)  =  ( 0  +  A ) )
42, 3mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  -  -u A
)  =  ( 0  +  A ) )
51, 4syl5eq 2452 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  ( 0  +  A ) )
6 addid2 9209 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  +  A )  =  A )
75, 6eqtrd 2440 1  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6044   CCcc 8948   0cc0 8950    + caddc 8953    - cmin 9251   -ucneg 9252
This theorem is referenced by:  neg11  9312  negcon1  9313  negreb  9326  negnegi  9330  negnegd  9362  mul2neg  9433  divneg2  9698  nnnegz  10245  znegclb  10274  expneg2  11349  shftcan2  11858  sqreulem  12122  sqreu  12123  dvdsnegb  12826  lognegb  20441  logcj  20458  argimgt0  20464  cxpsqr  20551  gxneg  21811  eldmgm  24763  fallrisefac  25297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-ltxr 9085  df-sub 9253  df-neg 9254
  Copyright terms: Public domain W3C validator