MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Unicode version

Theorem negnegd 9164
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 9113 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   CCcc 8751   -ucneg 9054
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9291  ltnegcon2  9292  lenegcon1  9294  lenegcon2  9295  infm3lem  9728  infmsup  9748  infmrcl  9749  zeo  10113  zindd  10129  negn0  10320  supminf  10321  zsupss  10323  max0sub  10539  xnegneg  10557  expneg  11127  expaddzlem  11161  expaddz  11162  cjcj  11641  cnpart  11741  sincossq  12472  bitsf1  12653  pcid  12941  4sqlem10  13010  mulgnegnn  14593  mulgsubcl  14597  mulgneg  14601  mulgz  14604  mulgass  14613  ghmmulg  14711  cyggeninv  15186  tgpmulg  17792  xrhmeo  18460  cphsqrcl3  18639  iblneg  19173  itgneg  19174  ditgswap  19225  lhop2  19378  vieta1lem2  19707  ptolemy  19880  tanabsge  19890  tanord  19916  tanregt0  19917  lognegb  19959  logtayl  20023  logtayl2  20025  cxpmul2z  20054  isosctrlem2  20135  dcubic  20158  dquart  20165  atans2  20243  amgmlem  20300  basellem5  20338  basellem9  20342  lgsdir2lem4  20581  dchrisum0flblem1  20673  ostth3  20803  gxnn0neg  20946  ipasslem3  21427  rexzrexnn0  26988  acongsym  27166  acongneg2  27167  acongtr  27168  itgsin0pilem1  27847  itgsinexplem1  27851  sigariz  27956  sigaradd  27959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator