MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Unicode version

Theorem negnegd 9391
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 9340 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   CCcc 8977   -ucneg 9281
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9518  ltnegcon2  9519  lenegcon1  9521  lenegcon2  9522  infm3lem  9955  infmsup  9975  infmrcl  9976  zeo  10344  zindd  10360  negn0  10551  supminf  10552  zsupss  10554  max0sub  10771  xnegneg  10789  expneg  11377  expaddzlem  11411  expaddz  11412  cjcj  11933  cnpart  12033  sincossq  12765  bitsf1  12946  pcid  13234  4sqlem10  13303  mulgnegnn  14888  mulgsubcl  14892  mulgneg  14896  mulgz  14899  mulgass  14908  ghmmulg  15006  cyggeninv  15481  tgpmulg  18111  xrhmeo  18959  cphsqrcl3  19138  iblneg  19682  itgneg  19683  ditgswap  19734  lhop2  19887  vieta1lem2  20216  ptolemy  20392  tanabsge  20402  tanord  20428  tanregt0  20429  lognegb  20472  logtayl  20539  logtayl2  20541  cxpmul2z  20570  isosctrlem2  20651  dcubic  20674  dquart  20681  atans2  20759  amgmlem  20816  basellem5  20855  basellem9  20859  lgsdir2lem4  21098  dchrisum0flblem1  21190  ostth3  21320  gxnn0neg  21839  ipasslem3  22322  lgamucov  24810  risefallfac  25329  rexzrexnn0  26801  acongsym  26978  acongneg2  26979  acongtr  26980  itgsin0pilem1  27658  itgsinexplem1  27662  stoweidlem13  27676  sigariz  27767  sigaradd  27770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-ltxr 9114  df-sub 9282  df-neg 9283
  Copyright terms: Public domain W3C validator