MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Unicode version

Theorem negnegd 9028
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 8977 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   CCcc 8615   -ucneg 8918
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9155  ltnegcon2  9156  lenegcon1  9158  lenegcon2  9159  infm3lem  9592  infmsup  9612  infmrcl  9613  zeo  9976  zindd  9992  negn0  10183  supminf  10184  zsupss  10186  max0sub  10401  xnegneg  10419  expneg  10989  expaddzlem  11023  expaddz  11024  cjcj  11502  cnpart  11602  sincossq  12330  bitsf1  12511  pcid  12799  4sqlem10  12868  mulgnegnn  14412  mulgsubcl  14416  mulgneg  14420  mulgz  14423  mulgass  14432  ghmmulg  14530  cyggeninv  15005  tgpmulg  17608  xrhmeo  18276  cphsqrcl3  18455  iblneg  18989  itgneg  18990  ditgswap  19041  lhop2  19194  vieta1lem2  19523  ptolemy  19696  tanabsge  19706  tanord  19732  tanregt0  19733  lognegb  19775  logtayl  19839  logtayl2  19841  isosctrlem2  19863  cxpmul2z  19906  dcubic  19974  dquart  19981  atans2  20059  amgmlem  20116  basellem5  20154  basellem9  20158  lgsdir2lem4  20397  dchrisum0flblem1  20489  ostth3  20619  gxnn0neg  20760  ipasslem3  21241  rexzrexnn0  26051  acongsym  26229  acongneg2  26230  acongtr  26231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752  df-sub 8919  df-neg 8920
  Copyright terms: Public domain W3C validator