MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Unicode version

Theorem negnegd 9143
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 9092 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1628    e. wcel 1688   CCcc 8730   -ucneg 9033
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9270  ltnegcon2  9271  lenegcon1  9273  lenegcon2  9274  infm3lem  9707  infmsup  9727  infmrcl  9728  zeo  10092  zindd  10108  negn0  10299  supminf  10300  zsupss  10302  max0sub  10517  xnegneg  10535  expneg  11105  expaddzlem  11139  expaddz  11140  cjcj  11619  cnpart  11719  sincossq  12450  bitsf1  12631  pcid  12919  4sqlem10  12988  mulgnegnn  14571  mulgsubcl  14575  mulgneg  14579  mulgz  14582  mulgass  14591  ghmmulg  14689  cyggeninv  15164  tgpmulg  17770  xrhmeo  18438  cphsqrcl3  18617  iblneg  19151  itgneg  19152  ditgswap  19203  lhop2  19356  vieta1lem2  19685  ptolemy  19858  tanabsge  19868  tanord  19894  tanregt0  19895  lognegb  19937  logtayl  20001  logtayl2  20003  cxpmul2z  20032  isosctrlem2  20113  dcubic  20136  dquart  20143  atans2  20221  amgmlem  20278  basellem5  20316  basellem9  20320  lgsdir2lem4  20559  dchrisum0flblem1  20651  ostth3  20781  gxnn0neg  20922  ipasslem3  21403  rexzrexnn0  26284  acongsym  26462  acongneg2  26463  acongtr  26464  itgsin0pilem1  27143  itgsinexplem1  27147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-ltxr 8867  df-sub 9034  df-neg 9035
  Copyright terms: Public domain W3C validator