MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegi Unicode version

Theorem negnegi 9111
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 8-Feb-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
negidi.1  |-  A  e.  CC
Assertion
Ref Expression
negnegi  |-  -u -u A  =  A

Proof of Theorem negnegi
StepHypRef Expression
1 negidi.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 negneg 9092 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2ax-mp 10 1  |-  -u -u A  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1628    e. wcel 1688   CCcc 8730   -ucneg 9033
This theorem is referenced by:  negsubdii  9126  m1expcl2  11119  crreczi  11220  absi  11765  sinhval  12428  coshval  12429  xrhmeo  18438  iblcnlem1  19136  itgcnlem  19138  dvsincos  19322  asinlem3a  20160  atandm2  20167  efiasin  20178  asinsinlem  20181  asinsin  20182  asin1  20184  atanlogsub  20206  atanbnd  20216  atantayl2  20228  basellem8  20319  lgsneg  20552  lgsdilem  20555  lgsdir2lem4  20559  lgsdir2  20561  ex-fl  20809  nvpi  21224  ipasslem10  21409  hvaddsubval  21604  polid2i  21728  lnophmlem2  22589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-ltxr 8867  df-sub 9034  df-neg 9035
  Copyright terms: Public domain W3C validator