MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Unicode version

Theorem negsub 9309
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9254 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 6055 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 9044 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9275 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1267 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9226 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 6059 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2446 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6044   CCcc 8948   0cc0 8950    + caddc 8953    - cmin 9251   -ucneg 9252
This theorem is referenced by:  negdi2  9319  negsubdi2  9320  resubcli  9323  resubcl  9325  negsubi  9338  negsubd  9377  submul2  9434  mulsub  9436  divsubdir  9670  elz2  10258  zsubcl  10279  qsubcl  10553  rexsub  10779  fzsubel  11048  ceim1l  11193  modcyc2  11236  expsub  11386  binom2sub  11457  seqshft  11859  resub  11891  imsub  11899  cjsub  11913  cjreim  11924  absdiflt  12080  absdifle  12081  abs2dif2  12096  subcn2  12347  efsub  12660  efi4p  12697  sinsub  12728  cossub  12729  demoivreALT  12761  dvdssub  12849  modgcd  12995  gzsubcl  13267  cnfldsub  16688  itg1sub  19558  plyremlem  20178  sineq0  20386  logneg2  20467  ang180lem2  20609  asinsin  20689  atanneg  20704  atancj  20707  atanlogadd  20711  atanlogsublem  20712  atanlogsub  20713  2efiatan  20715  tanatan  20716  cosatan  20718  atans2  20728  dvatan  20732  wilthlem1  20808  wilthlem2  20809  basellem8  20827  lgsvalmod  21056  gxsuc  21817  gxadd  21820  gxsub  21821  vcsubdir  21992  cnnvm  22131  cncph  22277  hvsubdistr2  22509  lnfnsubi  23506  zetacvg  24756  subfacval2  24830  bpoly2  26011  bpoly3  26012  itg2addnclem3  26161  pellexlem6  26791  pell14qrdich  26826  rmxm1  26891  rmym1  26892  psgnunilem2  27290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-ltxr 9085  df-sub 9253  df-neg 9254
  Copyright terms: Public domain W3C validator