MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Unicode version

Theorem negsub 9063
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9008 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 5803 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 8799 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9029 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1270 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 8980 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 5807 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2296 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705    + caddc 8708    - cmin 9005   -ucneg 9006
This theorem is referenced by:  negdi2  9073  negsubdi2  9074  resubcli  9077  resubcl  9079  negsubi  9092  negsubd  9131  submul2  9188  mulsub  9190  divsubdir  9424  elz2  10008  zsubcl  10029  qsubcl  10303  rexsub  10527  fzsubel  10794  ceim1l  10924  modcyc2  10967  expsub  11116  binom2sub  11187  seqshft  11546  resub  11578  imsub  11586  cjsub  11600  cjreim  11611  absdiflt  11767  absdifle  11768  abs2dif2  11783  subcn2  12034  efsub  12343  efi4p  12380  sinsub  12411  cossub  12412  demoivreALT  12444  dvdssub  12532  modgcd  12678  gzsubcl  12950  cnfldsub  16365  itg1sub  19027  plyremlem  19647  sineq0  19852  logneg2  19932  ang180lem2  20071  asinsin  20151  atanneg  20166  atancj  20169  atanlogadd  20173  atanlogsublem  20174  atanlogsub  20175  2efiatan  20177  tanatan  20178  cosatan  20180  atans2  20190  dvatan  20194  wilthlem1  20269  wilthlem2  20270  basellem8  20288  lgsvalmod  20517  gxsuc  20900  gxadd  20903  gxsub  20904  vcsubdir  21073  cnnvm  21212  cncph  21358  hvsubdistr2  21590  lnfnsubi  22587  ballotlem2  23009  zetacvg  23062  subfacval2  23091  bpoly2  24168  bpoly3  24169  mslb1  24975  pellexlem6  26287  pell14qrdich  26322  rmxm1  26387  rmym1  26388  psgnunilem2  26786  stoweidlem10  27128  stoweidlem13  27131  stoweidlem22  27140  stoweidlem23  27141  stoweidlem26  27144  stoweidlem42  27160  stoweidlem47  27165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840  df-sub 9007  df-neg 9008
  Copyright terms: Public domain W3C validator