MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Unicode version

Theorem negsub 9091
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9036 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 5831 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 8827 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9057 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1265 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9008 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 5835 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2322 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685  (class class class)co 5820   CCcc 8731   0cc0 8733    + caddc 8736    - cmin 9033   -ucneg 9034
This theorem is referenced by:  negdi2  9101  negsubdi2  9102  resubcli  9105  resubcl  9107  negsubi  9120  negsubd  9159  submul2  9216  mulsub  9218  divsubdir  9452  elz2  10036  zsubcl  10057  qsubcl  10331  rexsub  10556  fzsubel  10823  ceim1l  10953  modcyc2  10996  expsub  11145  binom2sub  11216  seqshft  11576  resub  11608  imsub  11616  cjsub  11630  cjreim  11641  absdiflt  11797  absdifle  11798  abs2dif2  11813  subcn2  12064  efsub  12376  efi4p  12413  sinsub  12444  cossub  12445  demoivreALT  12477  dvdssub  12565  modgcd  12711  gzsubcl  12983  cnfldsub  16398  itg1sub  19060  plyremlem  19680  sineq0  19885  logneg2  19965  ang180lem2  20104  asinsin  20184  atanneg  20199  atancj  20202  atanlogadd  20206  atanlogsublem  20207  atanlogsub  20208  2efiatan  20210  tanatan  20211  cosatan  20213  atans2  20223  dvatan  20227  wilthlem1  20302  wilthlem2  20303  basellem8  20321  lgsvalmod  20550  gxsuc  20933  gxadd  20936  gxsub  20937  vcsubdir  21106  cnnvm  21245  cncph  21391  hvsubdistr2  21625  lnfnsubi  22622  ballotlem2  23043  zetacvg  23096  subfacval2  23125  bpoly2  24202  bpoly3  24203  mslb1  25018  pellexlem6  26330  pell14qrdich  26365  rmxm1  26430  rmym1  26431  psgnunilem2  26829  stoweidlem10  27170  stoweidlem13  27173  stoweidlem22  27182  stoweidlem23  27183  stoweidlem26  27186  stoweidlem42  27202  stoweidlem47  27207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator