MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Unicode version

Theorem negsub 9028
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 8973 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 5768 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 8764 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 8994 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1270 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 8945 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 5772 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2294 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5757   CCcc 8668   0cc0 8670    + caddc 8673    - cmin 8970   -ucneg 8971
This theorem is referenced by:  negdi2  9038  negsubdi2  9039  resubcli  9042  resubcl  9044  negsubi  9057  negsubd  9096  submul2  9153  mulsub  9155  divsubdir  9389  elz2  9972  zsubcl  9993  qsubcl  10267  rexsub  10491  fzsubel  10758  ceim1l  10888  modcyc2  10931  expsub  11080  binom2sub  11151  seqshft  11510  resub  11542  imsub  11550  cjsub  11564  cjreim  11575  absdiflt  11731  absdifle  11732  abs2dif2  11747  subcn2  11998  efsub  12307  efi4p  12344  sinsub  12375  cossub  12376  demoivreALT  12408  dvdssub  12496  modgcd  12642  gzsubcl  12914  cnfldsub  16329  itg1sub  18991  plyremlem  19611  sineq0  19816  logneg2  19896  ang180lem2  20035  asinsin  20115  atanneg  20130  atancj  20133  atanlogadd  20137  atanlogsublem  20138  atanlogsub  20139  2efiatan  20141  tanatan  20142  cosatan  20144  atans2  20154  dvatan  20158  wilthlem1  20233  wilthlem2  20234  basellem8  20252  lgsvalmod  20481  gxsuc  20864  gxadd  20867  gxsub  20868  vcsubdir  21037  cnnvm  21176  cncph  21322  hvsubdistr2  21554  lnfnsubi  22551  ballotlem2  22973  zetacvg  23026  subfacval2  23055  bpoly2  24132  bpoly3  24133  mslb1  24939  pellexlem6  26251  pell14qrdich  26286  rmxm1  26351  rmym1  26352  psgnunilem2  26750  stoweidlem10  27059  stoweidlem13  27062  stoweidlem22  27071  stoweidlem23  27072  stoweidlem26  27075  stoweidlem42  27091  stoweidlem47  27096
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-ltxr 8805  df-sub 8972  df-neg 8973
  Copyright terms: Public domain W3C validator