MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Unicode version

Theorem negsub 9274
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9219 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 6024 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 9010 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9240 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1267 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9191 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 6028 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2418 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6013   CCcc 8914   0cc0 8916    + caddc 8919    - cmin 9216   -ucneg 9217
This theorem is referenced by:  negdi2  9284  negsubdi2  9285  resubcli  9288  resubcl  9290  negsubi  9303  negsubd  9342  submul2  9399  mulsub  9401  divsubdir  9635  elz2  10223  zsubcl  10244  qsubcl  10518  rexsub  10744  fzsubel  11013  ceim1l  11154  modcyc2  11197  expsub  11347  binom2sub  11418  seqshft  11820  resub  11852  imsub  11860  cjsub  11874  cjreim  11885  absdiflt  12041  absdifle  12042  abs2dif2  12057  subcn2  12308  efsub  12621  efi4p  12658  sinsub  12689  cossub  12690  demoivreALT  12722  dvdssub  12810  modgcd  12956  gzsubcl  13228  cnfldsub  16645  itg1sub  19461  plyremlem  20081  sineq0  20289  logneg2  20370  ang180lem2  20512  asinsin  20592  atanneg  20607  atancj  20610  atanlogadd  20614  atanlogsublem  20615  atanlogsub  20616  2efiatan  20618  tanatan  20619  cosatan  20621  atans2  20631  dvatan  20635  wilthlem1  20711  wilthlem2  20712  basellem8  20730  lgsvalmod  20959  gxsuc  21701  gxadd  21704  gxsub  21705  vcsubdir  21876  cnnvm  22015  cncph  22161  hvsubdistr2  22393  lnfnsubi  23390  zetacvg  24571  subfacval2  24645  bpoly2  25810  bpoly3  25811  itg2addnc  25952  pellexlem6  26581  pell14qrdich  26616  rmxm1  26681  rmym1  26682  psgnunilem2  27080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-ltxr 9051  df-sub 9218  df-neg 9219
  Copyright terms: Public domain W3C validator