MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Unicode version

Theorem negsub 9097
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9042 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 5871 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 8833 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9063 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1265 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9014 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 5875 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2323 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739    + caddc 8742    - cmin 9039   -ucneg 9040
This theorem is referenced by:  negdi2  9107  negsubdi2  9108  resubcli  9111  resubcl  9113  negsubi  9126  negsubd  9165  submul2  9222  mulsub  9224  divsubdir  9458  elz2  10042  zsubcl  10063  qsubcl  10337  rexsub  10562  fzsubel  10829  ceim1l  10959  modcyc2  11002  expsub  11151  binom2sub  11222  seqshft  11582  resub  11614  imsub  11622  cjsub  11636  cjreim  11647  absdiflt  11803  absdifle  11804  abs2dif2  11819  subcn2  12070  efsub  12382  efi4p  12419  sinsub  12450  cossub  12451  demoivreALT  12483  dvdssub  12571  modgcd  12717  gzsubcl  12989  cnfldsub  16404  itg1sub  19066  plyremlem  19686  sineq0  19891  logneg2  19971  ang180lem2  20110  asinsin  20190  atanneg  20205  atancj  20208  atanlogadd  20212  atanlogsublem  20213  atanlogsub  20214  2efiatan  20216  tanatan  20217  cosatan  20219  atans2  20229  dvatan  20233  wilthlem1  20308  wilthlem2  20309  basellem8  20327  lgsvalmod  20556  gxsuc  20941  gxadd  20944  gxsub  20945  vcsubdir  21114  cnnvm  21253  cncph  21399  hvsubdistr2  21631  lnfnsubi  22628  ballotlem2  23049  zetacvg  23691  subfacval2  23720  bpoly2  24794  bpoly3  24795  itg2addnc  24935  mslb1  25618  pellexlem6  26930  pell14qrdich  26965  rmxm1  27030  rmym1  27031  psgnunilem2  27429  stoweidlem10  27770  stoweidlem13  27773  stoweidlem22  27782  stoweidlem23  27783  stoweidlem26  27786  stoweidlem42  27802  stoweidlem47  27807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874  df-sub 9041  df-neg 9042
  Copyright terms: Public domain W3C validator