Theorem negsub 5353

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18.

Hypotheses

Ref	Expression
negsub.1	|- A e. CC
negsub.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
negsub	|- (A + -uB) = (A - B)

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsub.1	. . 3 |- A e. CC
2		negsub.2	. . 3 |- B e. CC
3	2	negcl 5341	. . . 4 |- -uB e. CC
4	1, 3	addcl 5292	. . 3 |- (A + -uB) e. CC
5	2, 4	addcom 5294	. . . 4 |- (B + (A + -uB)) = ((A + -uB) + B)
6	1, 3, 2	addass 5296	. . . . 5 |- ((A + -uB) + B) = (A + (-uB + B))
7	3, 2	addcom 5294	. . . . . . 7 |- (-uB + B) = (B + -uB)
8	2	negid 5352	. . . . . . 7 |- (B + -uB) = 0
9	7, 8	eqtr 1487	. . . . . 6 |- (-uB + B) = 0
10	9	opreq2i 3957	. . . . 5 |- (A + (-uB + B)) = (A + 0)
11	1	addid1 5302	. . . . 5 |- (A + 0) = A
12	6, 10, 11	3eqtr 1491	. . . 4 |- ((A + -uB) + B) = A
13	5, 12	eqtr 1487	. . 3 |- (B + (A + -uB)) = A
14	1, 2, 4, 13	subaddri 5344	. 2 |- (A - B) = (A + -uB)
15	14	eqcomi 1471	1 |- (A + -uB) = (A - B)

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209   - cmin 5264  -ucneg 5265

This theorem is referenced by:  negsubt 5354  subid 5363  neg11 5378  negsubdi 5421  negsubdi2 5422  ltsubadd 5568  lesub0 5586  icoshftf1oi 6342  crulem 6666  crmul 6671  crrecz 6672  cjcj 6713  cjreb 6716  recj 6717  imcj 6718  cjmul 6724  ipcn 6725  cjneg 6732  addcj 6733  isumshft2 7140  cosadd 7394  eff1o 8670  pilog 8690  normlem9 8905  normpar 8942  polid2 8945  occllem1 9089  projlem5 9106  pjthlem5 9138  lnophmlem2 9857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330

Copyright terms: Public domain