MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Unicode version

Theorem negsubd 9131
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9063 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 645 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5792   CCcc 8703    + caddc 8708    - cmin 9005   -ucneg 9006
This theorem is referenced by:  mulsub  9190  divsubdir  9424  divsubdiv  9444  ofnegsub  9712  icoshftf1o  10725  fzosubel  10874  modsub12d  10972  expaddzlem  11111  binom2sub  11186  discr  11204  cjreb  11573  recj  11574  remullem  11578  imcj  11582  sqreulem  11808  subcn2  12033  lo1sub  12069  iseraltlem2  12120  iseraltlem3  12121  fsumshftm  12208  fsumsub  12215  efmival  12395  cosadd  12407  sinsub  12410  sincossq  12418  moddvds  12500  dvdsadd2b  12533  bitsres  12626  pythagtriplem4  12834  mulgdirlem  14553  mulgsubdir  14560  cnsubrg  16394  zlpirlem3  16405  pjthlem1  18763  mbfsub  18979  mbfmulc2  18980  itg2monolem1  19067  itgcnlem  19106  iblsub  19138  itgsub  19142  itgmulc2  19150  dvmptsub  19278  dvexp3  19287  dvsincos  19290  dvlipcn  19303  ftc2  19353  aaliou3lem6  19690  tanarg  19932  advlogexp  19964  cxpsub  19991  abscxpbnd  20055  isosctrlem2  20081  angpieqvdlem  20087  quad2  20097  dcubic1lem  20101  dcubic2  20102  dcubic  20104  mcubic  20105  dquartlem2  20110  dquart  20111  quart1lem  20113  quartlem1  20115  quart  20119  asinlem2  20127  cosasin  20162  atanlogsublem  20173  atantan  20181  atantayl2  20196  ftalem5  20276  basellem9  20288  lgseisenlem1  20550  2sqlem4  20568  rpvmasum2  20623  log2sumbnd  20655  chpdifbndlem1  20664  pntpbnd1  20697  gxmodid  20906  smcnlem  21230  ipval2  21240  ipasslem2  21370  dipsubdir  21386  his2sub  21631  pjhthlem1  21930  axsegconlem9  23928  axeuclidlem  23965  mslb1  24974  mzpsubmpt  26188  pellexlem6  26286  pell1234qrreccl  26306  pellfund14  26350  rmxyneg  26372  rmxm1  26386  rmym1  26387  congsub  26424  jm2.19lem1  26449  jm2.19lem4  26452  jm2.19  26453  jm2.26lem3  26461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840  df-sub 9007  df-neg 9008
  Copyright terms: Public domain W3C validator