MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Unicode version

Theorem negsubd 9179
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9111 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    - cmin 9053   -ucneg 9054
This theorem is referenced by:  mulsub  9238  divsubdir  9472  divsubdiv  9492  ofnegsub  9760  icoshftf1o  10775  fzosubel  10924  modsub12d  11022  expaddzlem  11161  binom2sub  11236  discr  11254  cjreb  11624  recj  11625  remullem  11629  imcj  11633  sqreulem  11859  subcn2  12084  lo1sub  12120  iseraltlem2  12171  iseraltlem3  12172  fsumshftm  12259  fsumsub  12266  incexclem  12311  incexc  12312  efmival  12449  cosadd  12461  sinsub  12464  sincossq  12472  moddvds  12554  dvdsadd2b  12587  bitsres  12680  pythagtriplem4  12888  mulgdirlem  14607  mulgsubdir  14614  cnsubrg  16448  zlpirlem3  16459  pjthlem1  18817  mbfsub  19033  mbfmulc2  19034  itg2monolem1  19121  itgcnlem  19160  iblsub  19192  itgsub  19196  itgmulc2  19204  dvmptsub  19332  dvexp3  19341  dvsincos  19344  dvlipcn  19357  ftc2  19407  aaliou3lem6  19744  tanarg  19986  advlogexp  20018  cxpsub  20045  abscxpbnd  20109  isosctrlem2  20135  angpieqvdlem  20141  quad2  20151  dcubic1lem  20155  dcubic2  20156  dcubic  20158  mcubic  20159  dquartlem2  20164  dquart  20165  quart1lem  20167  quartlem1  20169  quart  20173  asinlem2  20181  cosasin  20216  atanlogsublem  20227  atantan  20235  atantayl2  20250  ftalem5  20330  basellem9  20342  lgseisenlem1  20604  2sqlem4  20622  rpvmasum2  20677  log2sumbnd  20709  chpdifbndlem1  20718  pntpbnd1  20751  gxmodid  20962  smcnlem  21286  ipval2  21296  ipasslem2  21426  dipsubdir  21442  his2sub  21687  pjhthlem1  21986  axsegconlem9  24625  axeuclidlem  24662  itg2gt0cn  25006  itgaddnclem2  25010  iblsubnc  25012  itgsubnc  25013  itgmulc2nc  25019  areacirclem2  25028  mslb1  25710  mzpsubmpt  26924  pellexlem6  27022  pell1234qrreccl  27042  pellfund14  27086  rmxyneg  27108  rmxm1  27122  rmym1  27123  congsub  27160  jm2.19lem1  27185  jm2.19lem4  27188  jm2.19  27189  jm2.26lem3  27197  stirlinglem5  27930  sigarperm  27953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator