MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Unicode version

Theorem negsubd 9043
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 8975 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 645 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5710   CCcc 8615    + caddc 8620    - cmin 8917   -ucneg 8918
This theorem is referenced by:  mulsub  9102  divsubdir  9336  divsubdiv  9356  ofnegsub  9624  icoshftf1o  10637  fzosubel  10786  modsub12d  10884  expaddzlem  11023  binom2sub  11098  discr  11116  cjreb  11485  recj  11486  remullem  11490  imcj  11494  sqreulem  11720  subcn2  11945  lo1sub  11981  iseraltlem2  12032  iseraltlem3  12033  fsumshftm  12120  fsumsub  12127  efmival  12307  cosadd  12319  sinsub  12322  sincossq  12330  moddvds  12412  dvdsadd2b  12445  bitsres  12538  pythagtriplem4  12746  mulgdirlem  14426  mulgsubdir  14433  cnsubrg  16264  zlpirlem3  16275  pjthlem1  18633  mbfsub  18849  mbfmulc2  18850  itg2monolem1  18937  itgcnlem  18976  iblsub  19008  itgsub  19012  itgmulc2  19020  dvmptsub  19148  dvexp3  19157  dvsincos  19160  dvlipcn  19173  ftc2  19223  aaliou3lem6  19560  tanarg  19802  advlogexp  19834  isosctrlem2  19863  angpieqvdlem  19869  cxpsub  19897  abscxpbnd  19961  quad2  19967  dcubic1lem  19971  dcubic2  19972  dcubic  19974  mcubic  19975  dquartlem2  19980  dquart  19981  quart1lem  19983  quartlem1  19985  quart  19989  asinlem2  19997  cosasin  20032  atanlogsublem  20043  atantan  20051  atantayl2  20066  ftalem5  20146  basellem9  20158  lgseisenlem1  20420  2sqlem4  20438  rpvmasum2  20493  log2sumbnd  20525  chpdifbndlem1  20534  pntpbnd1  20567  gxmodid  20776  smcnlem  21100  ipval2  21110  ipasslem2  21240  dipsubdir  21256  his2sub  21501  pjhthlem1  21800  axsegconlem9  23727  axeuclidlem  23764  mslb1  24773  mzpsubmpt  25987  pellexlem6  26085  pell1234qrreccl  26105  pellfund14  26149  rmxyneg  26171  rmxm1  26185  rmym1  26186  congsub  26223  jm2.19lem1  26248  jm2.19lem4  26251  jm2.19  26252  jm2.26lem3  26260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752  df-sub 8919  df-neg 8920
  Copyright terms: Public domain W3C validator