MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Unicode version

Theorem negsubd 9096
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9028 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 645 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5757   CCcc 8668    + caddc 8673    - cmin 8970   -ucneg 8971
This theorem is referenced by:  mulsub  9155  divsubdir  9389  divsubdiv  9409  ofnegsub  9677  icoshftf1o  10690  fzosubel  10839  modsub12d  10937  expaddzlem  11076  binom2sub  11151  discr  11169  cjreb  11538  recj  11539  remullem  11543  imcj  11547  sqreulem  11773  subcn2  11998  lo1sub  12034  iseraltlem2  12085  iseraltlem3  12086  fsumshftm  12173  fsumsub  12180  efmival  12360  cosadd  12372  sinsub  12375  sincossq  12383  moddvds  12465  dvdsadd2b  12498  bitsres  12591  pythagtriplem4  12799  mulgdirlem  14518  mulgsubdir  14525  cnsubrg  16359  zlpirlem3  16370  pjthlem1  18728  mbfsub  18944  mbfmulc2  18945  itg2monolem1  19032  itgcnlem  19071  iblsub  19103  itgsub  19107  itgmulc2  19115  dvmptsub  19243  dvexp3  19252  dvsincos  19255  dvlipcn  19268  ftc2  19318  aaliou3lem6  19655  tanarg  19897  advlogexp  19929  cxpsub  19956  abscxpbnd  20020  isosctrlem2  20046  angpieqvdlem  20052  quad2  20062  dcubic1lem  20066  dcubic2  20067  dcubic  20069  mcubic  20070  dquartlem2  20075  dquart  20076  quart1lem  20078  quartlem1  20080  quart  20084  asinlem2  20092  cosasin  20127  atanlogsublem  20138  atantan  20146  atantayl2  20161  ftalem5  20241  basellem9  20253  lgseisenlem1  20515  2sqlem4  20533  rpvmasum2  20588  log2sumbnd  20620  chpdifbndlem1  20629  pntpbnd1  20662  gxmodid  20871  smcnlem  21195  ipval2  21205  ipasslem2  21335  dipsubdir  21351  his2sub  21596  pjhthlem1  21895  axsegconlem9  23893  axeuclidlem  23930  mslb1  24939  mzpsubmpt  26153  pellexlem6  26251  pell1234qrreccl  26271  pellfund14  26315  rmxyneg  26337  rmxm1  26351  rmym1  26352  congsub  26389  jm2.19lem1  26414  jm2.19lem4  26417  jm2.19  26418  jm2.26lem3  26426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-ltxr 8805  df-sub 8972  df-neg 8973
  Copyright terms: Public domain W3C validator