MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Unicode version

Theorem negsubd 9406
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9338 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6072   CCcc 8977    + caddc 8982    - cmin 9280   -ucneg 9281
This theorem is referenced by:  mulsub  9465  divsubdir  9699  divsubdiv  9719  ofnegsub  9987  icoshftf1o  11009  fzosubel  11165  modsub12d  11271  expaddzlem  11411  binom2sub  11486  discr  11504  cjreb  11916  recj  11917  remullem  11921  imcj  11925  sqreulem  12151  subcn2  12376  lo1sub  12412  iseraltlem2  12464  iseraltlem3  12465  fsumshftm  12552  fsumsub  12559  incexclem  12604  incexc  12605  efmival  12742  cosadd  12754  sinsub  12757  sincossq  12765  moddvds  12847  dvdsadd2b  12880  bitsres  12973  pythagtriplem4  13181  mulgdirlem  14902  mulgsubdir  14909  cnsubrg  16747  zlpirlem3  16758  pjthlem1  19326  mbfsub  19542  mbfmulc2  19543  itg2monolem1  19630  itgcnlem  19669  iblsub  19701  itgsub  19705  itgmulc2  19713  dvmptsub  19841  dvexp3  19850  dvsincos  19853  dvlipcn  19866  ftc2  19916  aaliou3lem6  20253  logdiv2  20500  tanarg  20502  advlogexp  20534  cxpsub  20561  abscxpbnd  20625  isosctrlem2  20651  angpieqvdlem  20657  quad2  20667  dcubic1lem  20671  dcubic2  20672  dcubic  20674  mcubic  20675  dquartlem2  20680  dquart  20681  quart1lem  20683  quartlem1  20685  quart  20689  asinlem2  20697  cosasin  20732  atanlogsublem  20743  atantan  20751  atantayl2  20766  ftalem5  20847  basellem9  20859  lgseisenlem1  21121  2sqlem4  21139  rpvmasum2  21194  log2sumbnd  21226  chpdifbndlem1  21235  pntpbnd1  21268  gxmodid  21855  smcnlem  22181  ipval2  22191  ipasslem2  22321  dipsubdir  22337  his2sub  22582  pjhthlem1  22881  axsegconlem9  25812  axeuclidlem  25849  bpoly3  26052  itg2gt0cn  26206  iblsubnc  26212  itgsubnc  26213  itgmulc2nc  26219  areacirclem2  26228  mzpsubmpt  26737  pellexlem6  26834  pell1234qrreccl  26854  pellfund14  26898  rmxyneg  26920  rmxm1  26934  rmym1  26935  congsub  26972  jm2.19lem1  26997  jm2.19lem4  27000  jm2.19  27001  jm2.26lem3  27009  stoweidlem10  27673  stoweidlem13  27676  stoweidlem22  27685  stoweidlem23  27686  stoweidlem26  27689  stoweidlem42  27705  stoweidlem47  27710  stirlinglem5  27741  sigarperm  27764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-ltxr 9114  df-sub 9282  df-neg 9283
  Copyright terms: Public domain W3C validator