Theorem negsubt 5394

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18.

Assertion

Ref	Expression
negsubt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))

Proof of Theorem negsubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) + -uB))
2		opreq1 3974	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A - B) = (if(A e. CC, A, 0) - B))
3	1, 2	eqeq12d 1492	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A + -uB) = (A - B) <-> (if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) - B)))
4		negeq 5371	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> -uB = -uif(B e. CC, B, 0))
5	4	opreq2d 3982	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)))
6		opreq2 3975	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) - B) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)))
7	5, 6	eqeq12d 1492	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) + -uB) = (if(A e. CC, A, 0) - B) <-> (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))))
8		0cn 5340	. . . 4 |- 0 e. CC
9	8	elimel 2398	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
10	8	elimel 2398	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
11	9, 10	negsub 5393	. 2 |- (if(A e. CC, A, 0) + -uif(B e. CC, B, 0)) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))
12	3, 7, 11	dedth2h 2391	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ifcif 2365  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   + caddc 5249   - cmin 5304  -ucneg 5305

This theorem is referenced by:  addsubasst 5395  subnegt 5406  subcan2t 5414  subcant 5424  resubclt 5450  negdi2t 5468  negsubdit 5469  negsubdi2t 5470  submul2t 5472  subsub2t 5473  subsub4t 5476  nnncan1t 5479  addsub4t 5485  mulsubt 5489  pnncant 5492  lesub1t 5672  lesub2t 5673  ltsub1t 5674  ltsub2t 5675  subge0t 5686  divsubdirt 5776  divsubdirtOLD 5777  zaddclt 6167  zsubclt 6170  zltp1let 6183  ceim1lt 6251  qsubclt 6273  icoshftf1oi 6410  fzsubelt 6502  seqzval2t 6554  resubt 6806  imsubt 6809  cjsubt 6816  recjt 6818  cjreimt 6828  cj11t 6830  absdifltt 6883  absdiflet 6884  fsumshftm 7032  climge0 7112  climsub 7130  clim2serzt 7134  clim2serz 7145  geolimilem 7235  efsubt 7371  efi4pt 7435  efmivalt 7448  sinsubt 7455  cossubt 7456  sincossqt 7461  demoivre 7485  vcsubdir 8171  cnnvm 8309  ipval2 8353  cnph 8474  ipasslem2 8487  ipsubdir 8504  shftefif1olem 8736  hvsubdistr2t 8912  his2subt 8953  lnfnsub 9970  mslb1 10600

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370

Copyright terms: Public domain