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Theorem neibastop1 26411
Description: A collection of neighborhood bases determines a topology. Part of Theorem 4.5 of Stephen Willard's General Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
neibastop1.2  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
neibastop1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
neibastop1.4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
Assertion
Ref Expression
neibastop1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Distinct variable groups:    x, v, J    v, o, w, x, F    ph, o, v, w, x    o, X, v, w, x
Allowed substitution hints:    J( w, o)    V( x, w, v, o)

Proof of Theorem neibastop1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  y  C_  J )
2 neibastop1.4 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
3 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }  C_  ~P X
42, 3eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  J  C_  ~P X
51, 4syl6ss 3204 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  y  C_ 
~P X )
6 sspwuni 4003 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
75, 6sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  C_  X )
8 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
98uniex 4532 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
109elpw 3644 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P X  <->  U. y  C_  X )
117, 10sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  e.  ~P X )
12 eluni2 3847 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. y  <->  E. z  e.  y  x  e.  z )
13 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
1413ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  z  C_  U. y )
15 sspwb 4239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  U. y  <->  ~P z  C_ 
~P U. y )
1614, 15sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ~P z  C_ 
~P U. y )
17 sslin 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P z  C_  ~P U. y  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P U. y
) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y ) )
191sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  J )
2019adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  J )
21 pweq 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( o  =  z  ->  ~P o  =  ~P z
)
2221ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( o  =  z  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
2322neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  z  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
2423raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  z  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
2524, 2elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  J  <->  ( z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) )
2625simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  J  ->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
2720, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
28 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
29 rsp 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  ->  (
x  e.  z  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )
3027, 28, 29sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )
31 ssn0 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P U. y
)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) )
3218, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  (
z  e.  y  /\  x  e.  z )
)  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) )
3332expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  J )  /\  z  e.  y )  ->  (
x  e.  z  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) ) )
3433rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  ( E. z  e.  y  x  e.  z  ->  ( ( F `  x
)  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) ) )
3512, 34syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  (
x  e.  U. y  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) ) )
3635ralrimiv 2638 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  A. x  e.  U. y ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y
)  =/=  (/) )
37 pweq 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  U. y  ->  ~P o  =  ~P U. y )
3837ineq2d 3383 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  U. y  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =  ( ( F `  x
)  i^i  ~P U. y
) )
3938neeq1d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  U. y  -> 
( ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) 
<->  ( ( F `  x )  i^i  ~P U. y )  =/=  (/) ) )
4039raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( o  =  U. y  -> 
( A. x  e.  o  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  U. y ( ( F `
 x )  i^i 
~P U. y )  =/=  (/) ) )
4140, 2elrab2 2938 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  J  <->  ( U. y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  U. y ( ( F `
 x )  i^i 
~P U. y )  =/=  (/) ) )
4211, 36, 41sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  C_  J )  ->  U. y  e.  J )
4342ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
) )
4443alrimiv 1621 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y ( y 
C_  J  ->  U. y  e.  J ) )
45 pweq 3641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  y  ->  ~P o  =  ~P y
)
4645ineq2d 3383 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) )
4746neeq1d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
4847raleqbi1dv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  y  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
4948, 2elrab2 2938 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) ) )
5049, 25anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  J  /\  z  e.  J )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) ) )
51 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  ~P X  /\  A. x  e.  z  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( y  e. 
~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )
5250, 51bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  J  /\  z  e.  J )  <->  ( ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )
53 inss1 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
54 elpwi 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
5553, 54syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
( y  i^i  z
)  C_  X )
5655ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
5756adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
588inex1 4171 . . . . . . . 8  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5958elpw 3644 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P X  <->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
6057, 59sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P X )
61 ssralv 3250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  y  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) ) )
6253, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/) )
63 inss2 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  z )  C_  z
64 ssralv 3250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  z  ->  ( A. x  e.  z 
( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) )
6662, 65anim12i 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  -> 
( A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
67 r19.26 2688 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  /\  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  <->  ( A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
6866, 67sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  (
y  i^i  z )
( ( ( F `
 x )  i^i 
~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z )  =/=  (/) ) )
69 n0 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  <->  E. v 
v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) )
70 n0 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
7169, 70anbi12i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  <->  ( E. v  v  e.  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )
72 eeanv 1866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v E. w ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
) )  <->  ( E. v  v  e.  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  E. w  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )
73 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) 
C_  ~P y
74 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
) )
7573, 74sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ~P y )
76 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ~P y  -> 
v  C_  y )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  C_  y
)
78 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) 
C_  ~P z
79 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P z
) )
8078, 79sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ~P z )
81 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ~P z  ->  w  C_  z )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  C_  z
)
83 ss2in 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  C_  y  /\  w  C_  z )  -> 
( v  i^i  w
)  C_  ( y  i^i  z ) )
8477, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  C_  (
y  i^i  z )
)
85 sspwb 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  i^i  w ) 
C_  ( y  i^i  z )  <->  ~P (
v  i^i  w )  C_ 
~P ( y  i^i  z ) )
8684, 85sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ~P ( v  i^i  w )  C_  ~P ( y  i^i  z
) )
87 sslin 3408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P ( v  i^i  w
)  C_  ~P (
y  i^i  z )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w
) )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
) )
8886, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( v  i^i  w ) )  C_  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) ) )
89 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ph )
9056ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  X
)
91 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  x  e.  ( y  i^i  z ) )
9290, 91sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  x  e.  X
)
93 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) 
C_  ( F `  x )
9493, 74sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  v  e.  ( F `  x ) )
95 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) 
C_  ( F `  x )
9695, 79sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  w  e.  ( F `  x ) )
97 neibastop1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
9889, 92, 94, 96, 97syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( v  i^i  w ) )  =/=  (/) )
99 ssn0 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w
) )  C_  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( v  i^i  w ) )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
10088, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  /\  ( v  e.  ( ( F `  x
)  i^i  ~P y
)  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
101100ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
102101exlimdvv 1627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( E. v E. w ( v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  w  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )  -> 
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
10372, 102syl5bir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( E. v 
v  e.  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  /\  E. w  w  e.  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z ) )  ->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
10471, 103syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  /\  x  e.  ( y  i^i  z ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
y  i^i  z )
)  =/=  (/) ) )
105104ralimdva 2634 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
10668, 105syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X ) )  ->  ( ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  (
y  i^i  z )
( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z
) )  =/=  (/) ) )
107106impr 602 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) )
108 pweq 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  ~P o  =  ~P (
y  i^i  z )
)
109108ineq2d 3383 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) ) )
110109neeq1d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
111110raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  ( y  i^i  z
) ( ( F `
 x )  i^i 
~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
112111, 2elrab2 2938 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  J  <->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P X  /\  A. x  e.  ( y  i^i  z ) ( ( F `  x )  i^i  ~P ( y  i^i  z ) )  =/=  (/) ) )
11360, 107, 112sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  ~P X  /\  z  e.  ~P X )  /\  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
)  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  J
)
11452, 113sylan2b 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  z  e.  J ) )  -> 
( y  i^i  z
)  e.  J )
115114ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z
)  e.  J )
116 neibastop1.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
117 pwidg 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ~P X )
118116, 117syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ~P X
)
119 neibastop1.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
120 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } ) )
121119, 120sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } ) )
122 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } )  ->  ( F `  x )  e.  ~P ~P X )
123 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ~P ~P X  ->  ( F `  x
)  C_  ~P X
)
124121, 122, 1233syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  C_ 
~P X )
125 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  x ) 
C_  ~P X  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =  ( F `  x
) )
126124, 125sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =  ( F `
 x ) )
127 eldifsni 3763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  x )  e.  ( ~P ~P X  \  { (/) } )  ->  ( F `  x )  =/=  (/) )
128121, 127syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =/=  (/) )
129126, 128eqnetrd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =/=  (/) )
130129ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) )
131 pweq 3641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  =  X  ->  ~P o  =  ~P X
)
132131ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  =  X  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P X ) )
133132neeq1d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  X  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) ) )
134133raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  X  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P X )  =/=  (/) ) )
135134, 2elrab2 2938 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  J  <->  ( X  e.  ~P X  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  i^i  ~P X
)  =/=  (/) ) )
136118, 130, 135sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
137 elssuni 3871 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  J  ->  X  C_ 
U. J )
138136, 137syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  U. J )
139 sspwuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( J 
C_  ~P X  <->  U. J  C_  X )
1404, 139mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  U. J  C_  X
141140a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. J  C_  X
)
142138, 141eqssd 3209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
143 elex 2809 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
144116, 143syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
145142, 144eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
146 uniexb 4579 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  <->  U. J  e. 
_V )
147145, 146sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
148 istopg 16657 . . . 4  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
)  /\  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z )  e.  J
) ) )
149147, 148syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  J  ->  U. y  e.  J
)  /\  A. y  e.  J  A. z  e.  J  ( y  i^i  z )  e.  J
) ) )
15044, 115, 149mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
151 istopon 16679 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
152150, 142, 151sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   -->wf 5267   ` cfv 5271   Topctop 16647  TopOnctopon 16648
This theorem is referenced by:  neibastop2  26413  neibastop3  26414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-top 16652  df-topon 16655
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