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Theorem neibastop2 26074
Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
neibastop1.2  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
neibastop1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
neibastop1.4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
neibastop1.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
neibastop1.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
neibastop2  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  <->  ( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    v, t,
y, x    v, J    x, y, J    t, o,
v, w, x, y, P    o, N, t, v, w, x, y   
o, F, t, v, w, x, y    ph, o,
t, v, w, x, y    o, X, t, v, w, x, y
Allowed substitution hints:    J( w, t, o)    V( x, y, w, v, t, o)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables  f  n  z  s  u  a  b  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
51, 2, 3, 4neibastop1 26072 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 topontop 16907 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  Top )
9 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
109neii1 17086 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )  ->  N  C_  U. J
)
118, 10sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  ->  N  C_  U. J )
12 toponuni 16908 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
135, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1413ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  ->  X  =  U. J )
1511, 14sseqtr4d 3321 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  ->  N  C_  X )
16 neii2 17088 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )  ->  E. y  e.  J  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N
) )
178, 16sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  ->  E. y  e.  J  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N
) )
18 pweq 3738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  y  ->  ~P o  =  ~P y
)
1918ineq2d 3478 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) )
2019neeq1d 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
2120raleqbi1dv 2848 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  y  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
2221, 4elrab2 3030 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) ) )
23 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  y  C_  N
)
24 sspwb 4347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  N  <->  ~P y  C_ 
~P N )
2523, 24sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ~P y  C_  ~P N )
26 sslin 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P y  C_  ~P N  ->  ( ( F `  P )  i^i  ~P y )  C_  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  i^i 
~P y )  C_  ( ( F `  P )  i^i  ~P N ) )
28 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  { P }  C_  y )
29 snssg 3868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  X  ->  ( P  e.  y  <->  { P }  C_  y ) )
3029ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ( P  e.  y  <->  { P }  C_  y ) )
3128, 30mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  P  e.  y )
32 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  P  ->  ( F `  x )  =  ( F `  P ) )
3332ineq1d 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =  ( ( F `  P )  i^i  ~P y ) )
3433neeq1d 2556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  P  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  P )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
3534rspcv 2984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  y  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) ) )
3631, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  ( ( F `
 P )  i^i 
~P y )  =/=  (/) ) )
37 ssn0 3596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  P )  i^i  ~P y )  C_  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P y )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) )
3827, 36, 37ee12an 1369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  ( ( F `
 P )  i^i 
~P N )  =/=  (/) ) )
3938expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  ( ( F `
 P )  i^i 
~P N )  =/=  (/) ) ) )
4039com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  ->  (
( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/) ) ) )
4140expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( y  e. 
~P X  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) )  -> 
( ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/) ) ) )
4222, 41syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( y  e.  J  ->  ( ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/) ) ) )
4342rexlimdv 2765 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( E. y  e.  J  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/) ) )
4417, 43mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) )
4515, 44jca 519 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) ) )
4645ex 424 . 2  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  -> 
( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) ) ) )
47 n0 3573 . . . 4  |-  ( ( ( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/)  <->  E. s 
s  e.  ( ( F `  P )  i^i  ~P N ) )
48 elin 3466 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( F `
 P )  i^i 
~P N )  <->  ( s  e.  ( F `  P
)  /\  s  e.  ~P N ) )
49 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  N  C_  X )
5013ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  X  =  U. J )
5149, 50sseqtrd 3320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  N  C_  U. J )
521ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  X  e.  V )
532ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
54 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  ph )
5554, 3sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  ( s  e.  ( F `  P )  /\  s  e.  ~P N ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
56 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
5754, 56sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  ( s  e.  ( F `  P )  /\  s  e.  ~P N ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
58 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
5954, 58sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  ( s  e.  ( F `  P )  /\  s  e.  ~P N ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
60 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  P  e.  X )
61 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  -> 
s  e.  ( F `
 P ) )
62 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  -> 
s  e.  ~P N
)
6362elpwid 3744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  -> 
s  C_  N )
64 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  ( F `  n )  =  ( F `  x ) )
6564ineq1d 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  (
( F `  n
)  i^i  ~P b
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P b ) )
6665cbviunv 4064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b )  = 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P b )
67 pweq 3738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  z  ->  ~P b  =  ~P z
)
6867ineq2d 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  z  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P b
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
6968iuneq2d 4053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  z  ->  U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P b )  = 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
7066, 69syl5eq 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  z  ->  U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b )  = 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
7170cbviunv 4064 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b )  = 
U_ z  e.  a 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )
7271mpteq2i 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) )  =  ( a  e. 
_V  |->  U_ z  e.  a 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
73 rdgeq1 6598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  (
( F `  n
)  i^i  ~P b
) )  =  ( a  e.  _V  |->  U_ z  e.  a  U_ x  e.  X  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ z  e.  a  U_ x  e.  X  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
) ) ,  {
s } ) )
7472, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  (
( F `  n
)  i^i  ~P b
) ) ,  {
s } )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ z  e.  a  U_ x  e.  X  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z ) ) ,  { s } )
7574reseq1i 5075 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ z  e.  a  U_ x  e.  X  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z ) ) ,  { s } )  |`  om )
76 pweq 3738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  ~P g  =  ~P f
)
7776ineq2d 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  (
( F `  w
)  i^i  ~P g
)  =  ( ( F `  w )  i^i  ~P f ) )
7877neeq1d 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  (
( ( F `  w )  i^i  ~P g )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  w )  i^i  ~P f )  =/=  (/) ) )
7978cbvrexv 2869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )
( ( F `  w )  i^i  ~P g )  =/=  (/)  <->  E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om ) ( ( F `  w )  i^i  ~P f )  =/=  (/) )
80 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  w )  =  ( F `  y ) )
8180ineq1d 3477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
( F `  w
)  i^i  ~P f
)  =  ( ( F `  y )  i^i  ~P f ) )
8281neeq1d 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( F `  w )  i^i  ~P f )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  y )  i^i  ~P f )  =/=  (/) ) )
8382rexbidv 2663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )
( ( F `  w )  i^i  ~P f )  =/=  (/)  <->  E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om ) ( ( F `  y )  i^i  ~P f )  =/=  (/) ) )
8479, 83syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( E. g  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )
( ( F `  w )  i^i  ~P g )  =/=  (/)  <->  E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om ) ( ( F `  y )  i^i  ~P f )  =/=  (/) ) )
8584cbvrabv 2891 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  X  |  E. g  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om ) ( ( F `  w )  i^i  ~P g )  =/=  (/) }  =  {
y  e.  X  |  E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )
( ( F `  y )  i^i  ~P f )  =/=  (/) }
8652, 53, 55, 4, 57, 59, 60, 49, 61, 63, 75, 85neibastop2lem 26073 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  E. u  e.  J  ( P  e.  u  /\  u  C_  N ) )
877ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  J  e.  Top )
8860, 50eleqtrd 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  P  e.  U. J )
899isneip 17085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_ 
U. J  /\  E. u  e.  J  ( P  e.  u  /\  u  C_  N ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_ 
U. J  /\  E. u  e.  J  ( P  e.  u  /\  u  C_  N ) ) ) )
9151, 86, 90mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )
9291expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  (
( s  e.  ( F `  P )  /\  s  e.  ~P N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ) )
9348, 92syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  (
s  e.  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ) )
9493exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  ( E. s  s  e.  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ) )
9547, 94syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  (
( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ) )
9695expimpd 587 . 2  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) ) )
9746, 96impbid 184 1  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  <->  ( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   U.cuni 3950   U_ciun 4028    e. cmpt 4200   omcom 4778   ran crn 4812    |` cres 4813   -->wf 5383   ` cfv 5387   reccrdg 6596   Topctop 16874  TopOnctopon 16875   neicnei 17077
This theorem is referenced by:  neibastop3  26075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-top 16879  df-topon 16882  df-nei 17078
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