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Theorem neibl 18041
Description: The neighborhoods around a point  P of a metric space are those subsets containing a ball around  P. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
neibl  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
Distinct variable groups:    D, r    J, r    N, r    P, r    X, r

Proof of Theorem neibl
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 17980 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
32adantr 453 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  J  e.  Top )
41mopnuni 17981 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54eleq2d 2351 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( P  e.  X  <->  P  e.  U. J ) )
65biimpa 472 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  P  e.  U. J )
7 eqid 2284 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
87isneip 16836 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_ 
U. J  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) ) )
93, 6, 8syl2anc 645 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_ 
U. J  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) ) )
104sseq2d 3207 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( N  C_  X  <->  N  C_  U. J
) )
1110adantr 453 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( N  C_  X  <->  N  C_  U. J
) )
1211anbi1d 688 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( N  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  U. J  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) ) )
131mopni2 18033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  P  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  y
)
14 sstr2 3187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P ( ball `  D
) r )  C_  y  ->  ( y  C_  N  ->  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) )
1514com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  N  ->  (
( P ( ball `  D ) r ) 
C_  y  ->  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )
1615reximdv 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  N  ->  ( E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  y  ->  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )
1713, 16syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  P  e.  y
)  ->  ( y  C_  N  ->  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) )
18173exp 1155 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
y  e.  J  -> 
( P  e.  y  ->  ( y  C_  N  ->  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) ) ) )
1918imp4a 575 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
y  e.  J  -> 
( ( P  e.  y  /\  y  C_  N )  ->  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
2019ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  (
y  e.  J  -> 
( ( P  e.  y  /\  y  C_  N )  ->  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
2120rexlimdv 2667 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N )  ->  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )
22 rpxr 10356 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
231blopn 18040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) r )  e.  J )
2422, 23syl3an3 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  D ) r )  e.  J )
25 blcntr 17958 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) r ) )
26 eleq2 2345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( P (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  ( P ( ball `  D
) r ) ) )
27 sseq1 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( P (
ball `  D )
r )  ->  (
y  C_  N  <->  ( P
( ball `  D )
r )  C_  N
) )
2826, 27anbi12d 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( P (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  y  /\  y  C_  N
)  <->  ( P  e.  ( P ( ball `  D ) r )  /\  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
2928rspcev 2885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) r )  e.  J  /\  ( P  e.  ( P
( ball `  D )
r )  /\  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) )
3029expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) r )  e.  J  /\  P  e.  ( P ( ball `  D ) r ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) )
3124, 25, 30syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( P (
ball `  D )
r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) )
32313expia 1158 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( r  e.  RR+  ->  ( ( P ( ball `  D
) r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) ) )
3332rexlimdv 2667 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) )
3433adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) )
3521, 34impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N )  <->  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )
3635pm5.32da 625 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( N  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) ) )
379, 12, 363bitr2d 274 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1628    e. wcel 1688   E.wrex 2545    C_ wss 3153   {csn 3641   U.cuni 3828   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   RR*cxr 8861   RR+crp 10349   * Metcxmt 16363   ballcbl 16365   MetOpencmopn 16366   Topctop 16625   neicnei 16828
This theorem is referenced by:  reperflem  18317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-nei 16829
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