Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neibl Unicode version

Theorem neibl 18519
 Description: The neighborhoods around a point of a metric space are those subsets containing a ball around . Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1
Assertion
Ref Expression
neibl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem neibl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5
21mopntop 18458 . . . 4
41mopnuni 18459 . . . . 5
54eleq2d 2502 . . . 4
65biimpa 471 . . 3
7 eqid 2435 . . . 4
87isneip 17157 . . 3
93, 6, 8syl2anc 643 . 2
104sseq2d 3368 . . . 4
1211anbi1d 686 . 2
131mopni2 18511 . . . . . . . . 9
14 sstr2 3347 . . . . . . . . . . 11
1514com12 29 . . . . . . . . . 10
1615reximdv 2809 . . . . . . . . 9
1713, 16syl5com 28 . . . . . . . 8
18173exp 1152 . . . . . . 7
1918imp4a 573 . . . . . 6
2019ad2antrr 707 . . . . 5
2120rexlimdv 2821 . . . 4
22 rpxr 10608 . . . . . . . . 9
231blopn 18518 . . . . . . . . 9
2422, 23syl3an3 1219 . . . . . . . 8
25 blcntr 18431 . . . . . . . 8
26 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11
27 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11
2826, 27anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
2928rspcev 3044 . . . . . . . . 9
3029expr 599 . . . . . . . 8
3124, 25, 30syl2anc 643 . . . . . . 7
32313expia 1155 . . . . . 6
3332rexlimdv 2821 . . . . 5
3433adantr 452 . . . 4
3521, 34impbid 184 . . 3
3635pm5.32da 623 . 2
379, 12, 363bitr2d 273 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   wss 3312  csn 3806  cuni 4007  cfv 5445  (class class class)co 6072  cxr 9108  crp 10601  cxmt 16674  cbl 16676  cmopn 16679  ctop 16946  cnei 17149 This theorem is referenced by:  reperflem  18837 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-nei 17150
 Copyright terms: Public domain W3C validator