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Theorem neibl 17879
Description: The neighborhoods around a point  P of a metric space are those subsets containing a ball around  P. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
neibl  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
Distinct variable groups:    D, r    J, r    N, r    P, r    X, r

Proof of Theorem neibl
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 17818 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
32adantr 453 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  J  e.  Top )
41mopnuni 17819 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54eleq2d 2320 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( P  e.  X  <->  P  e.  U. J ) )
65biimpa 472 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  P  e.  U. J )
7 eqid 2253 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
87isneip 16674 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_ 
U. J  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) ) )
93, 6, 8syl2anc 645 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_ 
U. J  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) ) )
104sseq2d 3127 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( N  C_  X  <->  N  C_  U. J
) )
1110adantr 453 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( N  C_  X  <->  N  C_  U. J
) )
1211anbi1d 688 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( N  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  U. J  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) ) )
131mopni2 17871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  P  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  y
)
14 sstr2 3107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P ( ball `  D
) r )  C_  y  ->  ( y  C_  N  ->  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) )
1514com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  N  ->  (
( P ( ball `  D ) r ) 
C_  y  ->  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )
1615reximdv 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  N  ->  ( E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  y  ->  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )
1713, 16syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  P  e.  y
)  ->  ( y  C_  N  ->  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) )
18173exp 1155 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
y  e.  J  -> 
( P  e.  y  ->  ( y  C_  N  ->  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) ) ) )
1918imp4a 575 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
y  e.  J  -> 
( ( P  e.  y  /\  y  C_  N )  ->  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
2019ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  (
y  e.  J  -> 
( ( P  e.  y  /\  y  C_  N )  ->  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
2120rexlimdv 2628 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N )  ->  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )
22 rpxr 10240 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
231blopn 17878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) r )  e.  J )
2422, 23syl3an3 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  D ) r )  e.  J )
25 blcntr 17796 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) r ) )
26 eleq2 2314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( P (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  ( P ( ball `  D
) r ) ) )
27 sseq1 3120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( P (
ball `  D )
r )  ->  (
y  C_  N  <->  ( P
( ball `  D )
r )  C_  N
) )
2826, 27anbi12d 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( P (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  y  /\  y  C_  N
)  <->  ( P  e.  ( P ( ball `  D ) r )  /\  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
2928rcla4ev 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) r )  e.  J  /\  ( P  e.  ( P
( ball `  D )
r )  /\  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) )
3029expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) r )  e.  J  /\  P  e.  ( P ( ball `  D ) r ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) )
3124, 25, 30syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( P (
ball `  D )
r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) )
32313expia 1158 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( r  e.  RR+  ->  ( ( P ( ball `  D
) r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) ) )
3332rexlimdv 2628 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) )
3433adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) ) )
3521, 34impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N )  <->  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) )
3635pm5.32da 625 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( N  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  y  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  E. r  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) r )  C_  N ) ) )
379, 12, 363bitr2d 274 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. r  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
r )  C_  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510    C_ wss 3078   {csn 3544   U.cuni 3727   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RR*cxr 8746   RR+crp 10233   * Metcxmt 16201   ballcbl 16203   MetOpencmopn 16204   Topctop 16463   neicnei 16666
This theorem is referenced by:  reperflem  18155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-nei 16667
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