Theorem neibl 7877

Description: A neighborhood of a point defined in terms of balls.

Hypotheses

Ref	Expression
blopn.1	|- X = dom dom D
blopn.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
neibl	|- ((D e. Met /\ P e. X) -> (N e. ((nei` J)` {P}) <-> (N (_ X /\ E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N))))

Distinct variable groups:   D,r   J,r   P,r   N,r   X,r

Proof of Theorem neibl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . 4 |- U.J = U.J
2	1	isneip 7720	. . 3 |- ((J e. Top /\ P e. U.J) -> (N e. ((nei` J)` {P}) <-> (N (_ U.J /\ E.y e. J (P e. y /\ y (_ N))))
3		blopn.2	. . . . 5 |- J = (Open` D)
4	3	opntop 7870	. . . 4 |- (D e. Met -> J e. Top)
5	4	adantr 389	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> J e. Top)
6		blopn.1	. . . . . 6 |- X = dom dom D
7	6, 3	uniopn 7861	. . . . 5 |- (D e. Met -> U.J = X)
8	7	eleq2d 1541	. . . 4 |- (D e. Met -> (P e. U.J <-> P e. X))
9	8	biimpar 417	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> P e. U.J)
10	2, 5, 9	sylanc 471	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (N e. ((nei` J)` {P}) <-> (N (_ U.J /\ E.y e. J (P e. y /\ y (_ N))))
11	7	sseq2d 2089	. . . 4 |- (D e. Met -> (N (_ U.J <-> N (_ X))
12	11	adantr 389	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (N (_ U.J <-> N (_ X))
13	12	anbi1d 617	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> ((N (_ U.J /\ E.y e. J (P e. y /\ y (_ N)) <-> (N (_ X /\ E.y e. J (P e. y /\ y (_ N))))
14		sstr2 2071	. . . . . . . . . . . 12 |- ((P( ball ` D)r) (_ y -> (y (_ N -> (P( ball ` D)r) (_ N))
15	14	com12 11	. . . . . . . . . . 11 |- (y (_ N -> ((P( ball ` D)r) (_ y -> (P( ball ` D)r) (_ N))
16	15	anim2d 561	. . . . . . . . . 10 |- (y (_ N -> ((0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ y) -> (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N)))
17	16	r19.22sdv 1738	. . . . . . . . 9 |- (y (_ N -> (E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ y) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N)))
18	3	opni2 7865	. . . . . . . . 9 |- ((D e. Met /\ y e. J /\ P e. y) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ y))
19	17, 18	syl5com 52	. . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ y e. J /\ P e. y) -> (y (_ N -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N)))
20	19	3exp 832	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> (y e. J -> (P e. y -> (y (_ N -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N)))))
21	20	imp4a 364	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (y e. J -> ((P e. y /\ y (_ N) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N))))
22	21	ad2antrr 404	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ N (_ X) -> (y e. J -> ((P e. y /\ y (_ N) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N))))
23	22	r19.23adv 1746	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ N (_ X) -> (E.y e. J (P e. y /\ y (_ N) -> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N)))
24		eleq2 1535	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (P( ball ` D)r) -> (P e. y <-> P e. (P( ball ` D)r)))
25		sseq1 2082	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (P( ball ` D)r) -> (y (_ N <-> (P( ball ` D)r) (_ N))
26	24, 25	anbi12d 628	. . . . . . . . . 10 |- (y = (P( ball ` D)r) -> ((P e. y /\ y (_ N) <-> (P e. (P( ball ` D)r) /\ (P( ball ` D)r) (_ N)))
27	26	rcla4ev 1877	. . . . . . . . 9 |- (((P( ball ` D)r) e. J /\ (P e. (P( ball ` D)r) /\ (P( ball ` D)r) (_ N)) -> E.y e. J (P e. y /\ y (_ N))
28	6, 3	blopn 7876	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (P( ball ` D)r) e. J)
29	28	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) /\ (P( ball ` D)r) (_ N) -> (P( ball ` D)r) e. J)
30	6	blcntr 7845	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> P e. (P( ball ` D)r))
31	30	anim1i 334	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) /\ (P( ball ` D)r) (_ N) -> (P e. (P( ball ` D)r) /\ (P( ball ` D)r) (_ N))
32	27, 29, 31	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) /\ (P( ball ` D)r) (_ N) -> E.y e. J (P e. y /\ y (_ N))
33	32	exp42 383	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (r e. RR -> (0 < r -> ((P( ball ` D)r) (_ N -> E.y e. J (P e. y /\ y (_ N)))))
34	33	imp4a 364	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (r e. RR -> ((0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N) -> E.y e. J (P e. y /\ y (_ N))))
35	34	r19.23adv 1746	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N) -> E.y e. J (P e. y /\ y (_ N)))
36	35	adantr 389	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ N (_ X) -> (E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N) -> E.y e. J (P e. y /\ y (_ N)))
37	23, 36	impbid 516	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ N (_ X) -> (E.y e. J (P e. y /\ y (_ N) <-> E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N)))
38	37	pm5.32da 649	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> ((N (_ X /\ E.y e. J (P e. y /\ y (_ N)) <-> (N (_ X /\ E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N))))
39	10, 13, 38	3bitrd 544	1 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (N e. ((nei` J)` {P}) <-> (N (_ X /\ E.r e. RR (0 < r /\ (P( ball ` D)r) (_ N))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646   (_ wss 2047  {csn 2409  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   < clt 5486  Topctop 7588  neicnei 7712  Metcme 7789   ball cbl 7791  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  metnei 7878  blnei 7879  metelcls 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-top 7592  df-nei 7713  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796

Copyright terms: Public domain