Theorem neifil 10568

Description: The neighborhoods of a non empty set is a filter. Bourbaki TG I.36, example 2.

Hypothesis

Ref	Expression
neifil.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
neifil	|- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> ((nei` J)` S) e. Fil)

Proof of Theorem neifil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnei 7726	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S =/= (/)) -> -. (/) e. ((nei` J)` S))
2	1	3adant2 798	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> -. (/) e. ((nei` J)` S))
3		neifil.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
4	3	unnei 7735	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> U.((nei` J)` S) = X)
5	3	tpnei 7734	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (S (_ X <-> X e. ((nei` J)` S)))
6	5	biimpa 416	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> X e. ((nei` J)` S))
7	4, 6	eqeltrd 1548	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S))
8	7	3adant3 799	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S))
9	2, 8	jca 288	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> (-. (/) e. ((nei` J)` S) /\ U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S)))
10		sseq2 2083	. . . . . . . . . 10 |- (U.((nei` J)` S) = X -> (y (_ U.((nei` J)` S) <-> y (_ X))
11	3	ssnei2 7730	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ x e. ((nei` J)` S)) /\ (x (_ y /\ y (_ X)) -> y e. ((nei` J)` S))
12	11	exp43 384	. . . . . . . . . . . 12 |- (J e. Top -> (x e. ((nei` J)` S) -> (x (_ y -> (y (_ X -> y e. ((nei` J)` S)))))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (x e. ((nei` J)` S) -> (x (_ y -> (y (_ X -> y e. ((nei` J)` S)))))
14	13	com14 38	. . . . . . . . . 10 |- (y (_ X -> (x e. ((nei` J)` S) -> (x (_ y -> ((J e. Top /\ S (_ X) -> y e. ((nei` J)` S)))))
15	10, 14	syl6bi 214	. . . . . . . . 9 |- (U.((nei` J)` S) = X -> (y (_ U.((nei` J)` S) -> (x e. ((nei` J)` S) -> (x (_ y -> ((J e. Top /\ S (_ X) -> y e. ((nei` J)` S))))))
16	15	com23 32	. . . . . . . 8 |- (U.((nei` J)` S) = X -> (x e. ((nei` J)` S) -> (y (_ U.((nei` J)` S) -> (x (_ y -> ((J e. Top /\ S (_ X) -> y e. ((nei` J)` S))))))
17	16	3impd 847	. . . . . . 7 |- (U.((nei` J)` S) = X -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y (_ U.((nei` J)` S) /\ x (_ y) -> ((J e. Top /\ S (_ X) -> y e. ((nei` J)` S))))
18	17	com23 32	. . . . . 6 |- (U.((nei` J)` S) = X -> ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y (_ U.((nei` J)` S) /\ x (_ y) -> y e. ((nei` J)` S))))
19	4, 18	mpcom 49	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y (_ U.((nei` J)` S) /\ x (_ y) -> y e. ((nei` J)` S)))
20	19	3adant3 799	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y (_ U.((nei` J)` S) /\ x (_ y) -> y e. ((nei` J)` S)))
21	20	19.21aivv 1287	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> A.xA.y((x e. ((nei` J)` S) /\ y (_ U.((nei` J)` S) /\ x (_ y) -> y e. ((nei` J)` S)))
22		innei 7736	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ x e. ((nei` J)` S) /\ y e. ((nei` J)` S)) -> (x i^i y) e. ((nei` J)` S))
23	22	3expib 836	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y e. ((nei` J)` S)) -> (x i^i y) e. ((nei` J)` S)))
24	23	3ad2ant1 800	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> ((x e. ((nei` J)` S) /\ y e. ((nei` J)` S)) -> (x i^i y) e. ((nei` J)` S)))
25	24	r19.21aivv 1720	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> A.x e. ((nei` J)` S)A.y e. ((nei` J)` S)(x i^i y) e. ((nei` J)` S))
26	9, 21, 25	3jca 819	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> ((-. (/) e. ((nei` J)` S) /\ U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S)) /\ A.xA.y((x e. ((nei` J)` S) /\ y (_ U.((nei` J)` S) /\ x (_ y) -> y e. ((nei` J)` S)) /\ A.x e. ((nei` J)` S)A.y e. ((nei` J)` S)(x i^i y) e. ((nei` J)` S)))
27		fvex 3732	. . 3 |- ((nei` J)` S) e. V
28		eqid 1475	. . . 4 |- U.((nei` J)` S) = U.((nei` J)` S)
29	28	isfil 10558	. . 3 |- (((nei` J)` S) e. V -> (((nei` J)` S) e. Fil <-> ((-. (/) e. ((nei` J)` S) /\ U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S)) /\ A.xA.y((x e. ((nei` J)` S) /\ y (_ U.((nei` J)` S) /\ x (_ y) -> y e. ((nei` J)` S)) /\ A.x e. ((nei` J)` S)A.y e. ((nei` J)` S)(x i^i y) e. ((nei` J)` S))))
30	27, 29	ax-mp 7	. 2 |- (((nei` J)` S) e. Fil <-> ((-. (/) e. ((nei` J)` S) /\ U.((nei` J)` S) e. ((nei` J)` S)) /\ A.xA.y((x e. ((nei` J)` S) /\ y (_ U.((nei` J)` S) /\ x (_ y) -> y e. ((nei` J)` S)) /\ A.x e. ((nei` J)` S)A.y e. ((nei` J)` S)(x i^i y) e. ((nei` J)` S)))
31	26, 30	sylibr 200	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ S =/= (/)) -> ((nei` J)` S) e. Fil)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  Vcvv 1811   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  neicnei 7712  Filcfil 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-top 7592  df-nei 7713  df-fil 10557

Copyright terms: Public domain