Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neifil Structured version   Unicode version

Theorem neifil 17904
 Description: The neighborhoods of a non-empty set is a filter. Example 2 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
neifil TopOn

Proof of Theorem neifil
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toponuni 16984 . . . . . . . 8 TopOn
21adantr 452 . . . . . . 7 TopOn
3 topontop 16983 . . . . . . . . 9 TopOn
43adantr 452 . . . . . . . 8 TopOn
5 simpr 448 . . . . . . . . 9 TopOn
65, 2sseqtrd 3376 . . . . . . . 8 TopOn
7 eqid 2435 . . . . . . . . 9
87neiuni 17178 . . . . . . . 8
94, 6, 8syl2anc 643 . . . . . . 7 TopOn
102, 9eqtrd 2467 . . . . . 6 TopOn
11 eqimss2 3393 . . . . . 6
1210, 11syl 16 . . . . 5 TopOn
13 sspwuni 4168 . . . . 5
1412, 13sylibr 204 . . . 4 TopOn
15143adant3 977 . . 3 TopOn
16 0nnei 17168 . . . . 5
173, 16sylan 458 . . . 4 TopOn
18173adant2 976 . . 3 TopOn
197tpnei 17177 . . . . . . 7
2019biimpa 471 . . . . . 6
214, 6, 20syl2anc 643 . . . . 5 TopOn
222, 21eqeltrd 2509 . . . 4 TopOn
23223adant3 977 . . 3 TopOn
2415, 18, 233jca 1134 . 2 TopOn
25 elpwi 3799 . . . . 5
264ad2antrr 707 . . . . . . 7 TopOn
27 simprl 733 . . . . . . 7 TopOn
28 simprr 734 . . . . . . 7 TopOn
29 simplr 732 . . . . . . . 8 TopOn
302ad2antrr 707 . . . . . . . 8 TopOn
3129, 30sseqtrd 3376 . . . . . . 7 TopOn
327ssnei2 17172 . . . . . . 7
3326, 27, 28, 31, 32syl22anc 1185 . . . . . 6 TopOn
3433rexlimdvaa 2823 . . . . 5 TopOn
3525, 34sylan2 461 . . . 4 TopOn
3635ralrimiva 2781 . . 3 TopOn
37363adant3 977 . 2 TopOn
38 innei 17181 . . . . . 6
39383expib 1156 . . . . 5
403, 39syl 16 . . . 4 TopOn
41403ad2ant1 978 . . 3 TopOn
4241ralrimivv 2789 . 2 TopOn
43 isfil2 17880 . 2
4424, 37, 42, 43syl3anbrc 1138 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cuni 4007  cfv 5446  ctop 16950  TopOnctopon 16951  cnei 17153  cfil 17869 This theorem is referenced by:  trnei  17916  neiflim  17998  hausflim  18005  flimcf  18006  flimclslem  18008  cnpflf2  18024  cnpflf  18025  fclsfnflim  18051  neipcfilu  18318 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-fbas 16691  df-top 16955  df-topon 16958  df-nei 17154  df-fil 17870
 Copyright terms: Public domain W3C validator