Theorem neifval 7714

Description: The neighborhood function on the subsets of a topology's base set.

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
neifval	|- (J e. Top -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})

Distinct variable groups:   v,g,w,z,J   g,X,v,w,z

Proof of Theorem neifval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 2871	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. V)
2		neifval.1	. . . . 5 |- X = U.J
3	1, 2	syl5eqel 1552	. . . 4 |- (J e. Top -> X e. V)
4		pwexg 2746	. . . 4 |- (X e. V -> P~X e. V)
5		opabex2g 3611	. . . 4 |- (P~X e. V -> {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} e. V)
6	3, 4, 5	3syl 20	. . 3 |- (J e. Top -> {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} e. V)
7		visset 1813	. . . . . 6 |- z e. V
8	7	elpw 2404	. . . . 5 |- (z e. P~X <-> z (_ X)
9	8	anbi1i 481	. . . 4 |- ((z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))}) <-> (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))}))
10	9	opabbii 2671	. . 3 |- {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}
11	6, 10	syl5eqelr 1553	. 2 |- (J e. Top -> {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} e. V)
12		unieq 2510	. . . . . . 7 |- (j = J -> U.j = U.J)
13	12, 2	syl6eqr 1525	. . . . . 6 |- (j = J -> U.j = X)
14	13	sseq2d 2089	. . . . 5 |- (j = J -> (z (_ U.j <-> z (_ X))
15	13	sseq2d 2089	. . . . . . . 8 |- (j = J -> (v (_ U.j <-> v (_ X))
16		rexeq1 1787	. . . . . . . 8 |- (j = J -> (E.g e. j (z (_ g /\ g (_ v) <-> E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v)))
17	15, 16	anbi12d 628	. . . . . . 7 |- (j = J -> ((v (_ U.j /\ E.g e. j (z (_ g /\ g (_ v)) <-> (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))))
18	17	abbidv 1577	. . . . . 6 |- (j = J -> {v | (v (_ U.j /\ E.g e. j (z (_ g /\ g (_ v))} = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})
19	18	eqeq2d 1486	. . . . 5 |- (j = J -> (w = {v | (v (_ U.j /\ E.g e. j (z (_ g /\ g (_ v))} <-> w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))}))
20	14, 19	anbi12d 628	. . . 4 |- (j = J -> ((z (_ U.j /\ w = {v | (v (_ U.j /\ E.g e. j (z (_ g /\ g (_ v))}) <-> (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})))
21	20	opabbidv 2670	. . 3 |- (j = J -> {<.z, w>. | (z (_ U.j /\ w = {v | (v (_ U.j /\ E.g e. j (z (_ g /\ g (_ v))})} = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})
22		df-nei 7713	. . 3 |- nei = {<.j, y>. | (j e. Top /\ y = {<.z, w>. | (z (_ U.j /\ w = {v | (v (_ U.j /\ E.g e. j (z (_ g /\ g (_ v))})})}
23	21, 22	fvopab4g 3779	. 2 |- ((J e. Top /\ {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} e. V) -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})
24	11, 23	mpdan 704	1 |- (J e. Top -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  {copab 2666  ` cfv 3182  Topctop 7588  neicnei 7712

This theorem is referenced by:  neif 7715  neival 7717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-nei 7713

Copyright terms: Public domain