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Theorem neips 16866
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neips  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
Distinct variable groups:    J, p    N, p    S, p    X, p

Proof of Theorem neips
Dummy variables  g  h  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 3775 . . . . . 6  |-  ( p  e.  S  ->  { p }  C_  S )
2 neiss 16862 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  /\  {
p }  C_  S
)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) )
31, 2syl3an3 1217 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  /\  p  e.  S )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) )
433exp 1150 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  (
p  e.  S  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } ) ) ) )
54ralrimdv 2645 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
653ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
7 r19.28zv 3562 . . . . 5  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
873ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
9 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { v  e.  J  |  v 
C_  N }  C_  J
10 uniopn 16659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  J )  ->  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  e.  J )
119, 10mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  e.  J )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  e.  J )
13 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  g  ->  (
v  C_  N  <->  g  C_  N ) )
1413elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  ( g  e.  J  /\  g  C_  N ) )
15 elunii 3848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  g  /\  g  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N } )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
1614, 15sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  g  /\  ( g  e.  J  /\  g  C_  N ) )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }
)
1716an12s 776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  J  /\  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }
)
1817rexlimiva 2675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
1918ralimi 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  S  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  A. p  e.  S  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
20 dfss3 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  A. p  e.  S  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
2119, 20sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  S  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  S  C_  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
2221adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
)
23 unissb 3873 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N  <->  A. h  e.  {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
h  C_  N )
24 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  h  ->  (
v  C_  N  <->  h  C_  N
) )
2524elrab 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  ( h  e.  J  /\  h  C_  N ) )
2625simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  ->  h  C_  N )
2723, 26mprgbir 2626 . . . . . . . . 9  |-  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  N
2822, 27jctir 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( S  C_ 
U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  /\  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  N ) )
29 sseq2 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( S  C_  h  <->  S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
) )
30 sseq1 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( h  C_  N  <->  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  C_  N ) )
3129, 30anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( ( S  C_  h  /\  h  C_  N )  <-> 
( S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  /\  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N ) ) )
3231rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  e.  J  /\  ( S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  /\  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N ) )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) )
3312, 28, 32syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) )
3433ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) )
3534anim2d 548 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  -> 
( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
36353adant3 975 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
378, 36sylbid 206 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N
) ) ) )
38 ssel2 3188 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  X  /\  p  e.  S )  ->  p  e.  X )
39 neips.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
4039isneip 16858 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  p  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4138, 40sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  C_  X  /\  p  e.  S )
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4241anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  p  e.  S
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4342ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
44433adant3 975 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } )  <->  A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4539isnei 16856 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
46453adant3 975 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
4737, 44, 463imtr4d 259 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
) )
486, 47impbid 183 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   neicnei 16850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-nei 16851
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