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Theorem neips 16845
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neips  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
Distinct variable groups:    J, p    N, p    S, p    X, p
Dummy variables  g  h  v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem neips
StepHypRef Expression
1 snssi 3761 . . . . . 6  |-  ( p  e.  S  ->  { p }  C_  S )
2 neiss 16841 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  /\  {
p }  C_  S
)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) )
31, 2syl3an3 1219 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  /\  p  e.  S )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) )
433exp 1152 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  (
p  e.  S  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } ) ) ) )
54ralrimdv 2634 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
653ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
7 r19.28zv 3551 . . . . 5  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
873ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
9 ssrab2 3260 . . . . . . . . . 10  |-  { v  e.  J  |  v 
C_  N }  C_  J
10 uniopn 16638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  J )  ->  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  e.  J )
119, 10mpan2 654 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  e.  J )
1211ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  e.  J )
13 sseq1 3201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  g  ->  (
v  C_  N  <->  g  C_  N ) )
1413elrab 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  ( g  e.  J  /\  g  C_  N ) )
15 elunii 3834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  g  /\  g  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N } )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
1614, 15sylan2br 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  g  /\  ( g  e.  J  /\  g  C_  N ) )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }
)
1716an12s 778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  J  /\  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }
)
1817rexlimiva 2664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
1918ralimi 2620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  S  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  A. p  e.  S  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
20 dfss3 3172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  A. p  e.  S  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
2119, 20sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  S  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  S  C_  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
2221adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
)
23 unissb 3859 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N  <->  A. h  e.  {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
h  C_  N )
24 sseq1 3201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  h  ->  (
v  C_  N  <->  h  C_  N
) )
2524elrab 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  ( h  e.  J  /\  h  C_  N ) )
2625simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  ->  h  C_  N )
2723, 26mprgbir 2615 . . . . . . . . 9  |-  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  N
2822, 27jctir 526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( S  C_ 
U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  /\  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  N ) )
29 sseq2 3202 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( S  C_  h  <->  S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
) )
30 sseq1 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( h  C_  N  <->  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  C_  N ) )
3129, 30anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( ( S  C_  h  /\  h  C_  N )  <-> 
( S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  /\  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N ) ) )
3231rspcev 2886 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  e.  J  /\  ( S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  /\  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N ) )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) )
3312, 28, 32syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) )
3433ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) )
3534anim2d 550 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  -> 
( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
36353adant3 977 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
378, 36sylbid 208 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N
) ) ) )
38 ssel2 3177 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  X  /\  p  e.  S )  ->  p  e.  X )
39 neips.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
4039isneip 16837 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  p  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4138, 40sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  C_  X  /\  p  e.  S )
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4241anassrs 631 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  p  e.  S
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4342ralbidva 2561 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
44433adant3 977 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } )  <->  A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4539isnei 16835 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
46453adant3 977 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
4737, 44, 463imtr4d 261 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
) )
486, 47impbid 185 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549    C_ wss 3154   (/)c0 3457   {csn 3642   U.cuni 3829   ` cfv 5222   Topctop 16626   neicnei 16829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-top 16631  df-nei 16830
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