Theorem neissex 17184

Description: For any neighborhood N of S, there is a neighborhood x of S such that N is a neighborhood of all subsets of x. Proposition Viv of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
neissex	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, N, y   x, S, y

Proof of Theorem neissex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 17165	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. J ( S C_ x /\ x C_ N ) )
2		opnneiss 17175	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ S C_ x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
3	2	3expb 1154	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ S C_ x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
4	3	adantrrr 706	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
5	4	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
6		simplll 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> J e. Top )
7		simpll 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> J e. Top )
8		simpr 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> x e. J )
9		eqid 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. J = U. J
10	9	neii1 17163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ U. J )
11	10	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> N C_ U. J )
12	9	opnssneib 17172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ N C_ U. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
13	7, 8, 11, 12	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
14	13	biimpa 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) /\ x C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
15	14	anasss 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
16	15	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
17		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> y C_ x )
18		neiss 17166	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` x ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
20	19	ex 424	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
21	20	adantrrl 705	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
22	21	alrimiv 1641	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
23	5, 22	jca 519	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) ) )
24	23	ex 424	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) ) ) )
25	24	reximdv2 2808	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( E. x e. J ( S C_ x /\ x C_ N ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) ) )
26	1, 25	mpd 15	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   A.wal 1549   e. wcel 1725   E.wrex 2699   C_ wss 3313   U.cuni 4008   ` cfv 5447   Topctop 16951   neicnei 17154

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-top 16956  df-nei 17155