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Theorem neissex 16864
Description: For any neighborhood  N of  S, there is a neighborhood  x of  S such that  N is a neighborhood of all subsets of  x. Proposition Viv of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
neissex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, N, y    x, S, y

Proof of Theorem neissex
StepHypRef Expression
1 neii2 16845 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  J  ( S  C_  x  /\  x  C_  N ) )
2 opnneiss 16855 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  S  C_  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )
323expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  S  C_  x ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
43adantrrr 705 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  ( S  C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
54adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
6 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  J  e.  Top )
7 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
8 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  J )
9 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
109neii1 16843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  N  C_  U. J )
1110adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  N  C_  U. J
)
129opnssneib 16852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( x  C_  N 
<->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 x ) ) )
137, 8, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  C_  N  <->  N  e.  (
( nei `  J
) `  x )
) )
1413biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  J )  /\  x  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  x )
)
1514anasss 628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x ) )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x ) )
17 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  -> 
y  C_  x )
18 neiss 16846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
)
196, 16, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  y ) )
2019ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  -> 
( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 y ) ) )
2120adantrrl 704 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
2221alrimiv 1617 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
235, 22jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  /\  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) )
2423ex 423 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) )  -> 
( x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  /\  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) ) )
2524reximdv2 2652 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( S  C_  x  /\  x  C_  N
)  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) )
261, 25mpd 14 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   neicnei 16834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-nei 16835
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