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Theorem neissex 17114
Description: For any neighborhood  N of  S, there is a neighborhood  x of  S such that  N is a neighborhood of all subsets of  x. Proposition Viv of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
neissex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, N, y    x, S, y

Proof of Theorem neissex
StepHypRef Expression
1 neii2 17095 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  J  ( S  C_  x  /\  x  C_  N ) )
2 opnneiss 17105 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  S  C_  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )
323expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  S  C_  x ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
43adantrrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  ( S  C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
54adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
6 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  J  e.  Top )
7 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
8 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  J )
9 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
109neii1 17093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  N  C_  U. J )
1110adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  N  C_  U. J
)
129opnssneib 17102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( x  C_  N 
<->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 x ) ) )
137, 8, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  C_  N  <->  N  e.  (
( nei `  J
) `  x )
) )
1413biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  J )  /\  x  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  x )
)
1514anasss 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x ) )
17 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  -> 
y  C_  x )
18 neiss 17096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
)
196, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  y ) )
2019ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  -> 
( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 y ) ) )
2120adantrrl 705 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
2221alrimiv 1638 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
235, 22jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  /\  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) )
2423ex 424 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) )  -> 
( x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  /\  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) ) )
2524reximdv2 2758 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( S  C_  x  /\  x  C_  N
)  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) )
261, 25mpd 15 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1717   E.wrex 2650    C_ wss 3263   U.cuni 3957   ` cfv 5394   Topctop 16881   neicnei 17084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-top 16886  df-nei 17085
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