Theorem neissex 16858

Description: For any neighborhood N of S, there is a neighborhood x of S such that N is a neighborhood of all subsets of x. Proposition Viv of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
neissex	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, N, y   x, S, y

Proof of Theorem neissex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 16839	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. J ( S C_ x /\ x C_ N ) )
2		opnneiss 16849	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ S C_ x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
3	2	3expb 1157	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ S C_ x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
4	3	adantrrr 708	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
5	4	adantlr 698	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
6		simplll 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> J e. Top )
7		simpll 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> J e. Top )
8		simpr 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> x e. J )
9		eqid 2284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. J = U. J
10	9	neii1 16837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ U. J )
11	10	adantr 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> N C_ U. J )
12	9	opnssneib 16846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ N C_ U. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
13	7, 8, 11, 12	syl3anc 1187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
14	13	biimpa 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) /\ x C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
15	14	anasss 631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
16	15	adantr 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
17		simpr 449	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> y C_ x )
18		neiss 16840	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` x ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
20	19	ex 425	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
21	20	adantrrl 707	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
22	21	alrimiv 1622	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
23	5, 22	jca 520	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) ) )
24	23	ex 425	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) ) ) )
25	24	reximdv2 2653	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( E. x e. J ( S C_ x /\ x C_ N ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) ) )
26	1, 25	mpd 16	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ wa 360   A.wal 1532   e. wcel 1688   E.wrex 2545   C_ wss 3153   U.cuni 3828   ` cfv 5221   Topctop 16625   neicnei 16828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-top 16630  df-nei 16829