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Theorem neissex 16791
Description: For any neighborhood  N of  S, there is a neighborhood  x of  S such that  N is a neighborhood of all subsets of  x. Proposition Viv of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
neissex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, N, y    x, S, y

Proof of Theorem neissex
StepHypRef Expression
1 neii2 16772 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  J  ( S  C_  x  /\  x  C_  N ) )
2 opnneiss 16782 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  S  C_  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )
323expb 1157 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  S  C_  x ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
43adantrrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  ( S  C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
54adantlr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
6 simplll 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  J  e.  Top )
7 simpll 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
8 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  J )
9 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
109neii1 16770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  N  C_  U. J )
1110adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  N  C_  U. J
)
129opnssneib 16779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( x  C_  N 
<->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 x ) ) )
137, 8, 11, 12syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  C_  N  <->  N  e.  (
( nei `  J
) `  x )
) )
1413biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  J )  /\  x  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  x )
)
1514anasss 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x ) )
1615adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x ) )
17 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  -> 
y  C_  x )
18 neiss 16773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
)
196, 16, 17, 18syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  y ) )
2019ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  -> 
( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 y ) ) )
2120adantrrl 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
2221alrimiv 2013 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
235, 22jca 520 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  /\  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) )
2423ex 425 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) )  -> 
( x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  /\  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) ) )
2524reximdv2 2623 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( S  C_  x  /\  x  C_  N
)  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) )
261, 25mpd 16 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621   E.wrex 2517    C_ wss 3094   U.cuni 3768   ` cfv 4638   Topctop 16558   neicnei 16761
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-top 16563  df-nei 16762
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