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Theorem neissex 16880
Description: For any neighborhood  N of  S, there is a neighborhood  x of  S such that  N is a neighborhood of all subsets of  x. Proposition Viv of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
neissex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, N, y    x, S, y

Proof of Theorem neissex
StepHypRef Expression
1 neii2 16861 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  J  ( S  C_  x  /\  x  C_  N ) )
2 opnneiss 16871 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  S  C_  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )
323expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  S  C_  x ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
43adantrrr 705 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  ( S  C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
54adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)
6 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  J  e.  Top )
7 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
8 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  J )
9 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
109neii1 16859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  N  C_  U. J )
1110adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  N  C_  U. J
)
129opnssneib 16868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( x  C_  N 
<->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 x ) ) )
137, 8, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  C_  N  <->  N  e.  (
( nei `  J
) `  x )
) )
1413biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  J )  /\  x  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  x )
)
1514anasss 628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x ) )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x ) )
17 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  -> 
y  C_  x )
18 neiss 16862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  x )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
)
196, 16, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  /\  y  C_  x )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  y ) )
2019ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  N ) )  -> 
( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 y ) ) )
2120adantrrl 704 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
2221alrimiv 1621 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
235, 22jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  /\  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) )
2423ex 423 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( ( x  e.  J  /\  ( S 
C_  x  /\  x  C_  N ) )  -> 
( x  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  /\  A. y ( y 
C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) ) )
2524reximdv2 2665 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( S  C_  x  /\  x  C_  N
)  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) ) )
261, 25mpd 14 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  S ) A. y ( y  C_  x  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    e. wcel 1696   E.wrex 2557    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   neicnei 16850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-nei 16851
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