Theorem nfvres 3743

Description: A non-element of a restriction has empty value.

Assertion

Ref	Expression
nfvres	|- (-. A e. B -> ((F |` B)` A) = (/))

Proof of Theorem nfvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 3376	. . . . . 6 |- dom ( F |` B) = (B i^i dom F)
2	1	eleq2i 1536	. . . . 5 |- (A e. dom ( F |` B) <-> A e. (B i^i dom F))
3		elin 2204	. . . . 5 |- (A e. (B i^i dom F) <-> (A e. B /\ A e. dom F))
4	2, 3	bitr 173	. . . 4 |- (A e. dom ( F |` B) <-> (A e. B /\ A e. dom F))
5	4	pm3.26bi 322	. . 3 |- (A e. dom ( F |` B) -> A e. B)
6	5	con3i 98	. 2 |- (-. A e. B -> -. A e. dom ( F |` B))
7		ndmfv 3740	. 2 |- (-. A e. dom ( F |` B) -> ((F |` B)` A) = (/))
8	6, 7	syl 10	1 |- (-. A e. B -> ((F |` B)` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   i^i cin 2043  (/)c0 2277  dom cdm 3166   |` cres 3168  ` cfv 3178

This theorem is referenced by:  fveqres 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-xp 3180  df-cnv 3182  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fv 3194

Copyright terms: Public domain