Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelchi Unicode version

Theorem nlelchi 23547
 Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1
nlelch.2
Assertion
Ref Expression
nlelchi

Proof of Theorem nlelchi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3
21nlelshi 23546 . 2
3 vex 2946 . . . . . 6
43hlimveci 22675 . . . . 5
54adantl 453 . . . 4
6 eqid 2430 . . . . . . 7 fld fld
76cnfldhaus 18802 . . . . . 6 fld
87a1i 11 . . . . 5 fld
9 eqid 2430 . . . . . . . . . 10
10 eqid 2430 . . . . . . . . . . 11
119, 10hhims 22657 . . . . . . . . . 10
12 eqid 2430 . . . . . . . . . 10
139, 11, 12hhlm 22684 . . . . . . . . 9
14 resss 5156 . . . . . . . . 9
1513, 14eqsstri 3365 . . . . . . . 8
1615ssbri 4241 . . . . . . 7
1716adantl 453 . . . . . 6
18 nlelch.2 . . . . . . . 8
1910, 12, 6hhcnf 23391 . . . . . . . 8 fld
2018, 19eleqtri 2502 . . . . . . 7 fld
2120a1i 11 . . . . . 6 fld
2217, 21lmcn 17352 . . . . 5 fld
231lnfnfi 23527 . . . . . . . . . 10
24 ffvelrn 5854 . . . . . . . . . . 11
2524adantlr 696 . . . . . . . . . 10
26 elnlfn2 23415 . . . . . . . . . 10
2723, 25, 26sylancr 645 . . . . . . . . 9
28 fvco3 5786 . . . . . . . . . 10
2928adantlr 696 . . . . . . . . 9
30 c0ex 9069 . . . . . . . . . . 11
3130fvconst2 5933 . . . . . . . . . 10
3231adantl 453 . . . . . . . . 9
3327, 29, 323eqtr4d 2472 . . . . . . . 8
3433ralrimiva 2776 . . . . . . 7
35 ffn 5577 . . . . . . . . . 10
3623, 35ax-mp 8 . . . . . . . . 9
37 simpl 444 . . . . . . . . . 10
382shssii 22698 . . . . . . . . . 10
39 fss 5585 . . . . . . . . . 10
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . . . 9
41 fnfco 5595 . . . . . . . . 9
4236, 40, 41sylancr 645 . . . . . . . 8
4330fconst 5615 . . . . . . . . 9
44 ffn 5577 . . . . . . . . 9
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . 8
46 eqfnfv 5813 . . . . . . . 8
4742, 45, 46sylancl 644 . . . . . . 7
4834, 47mpbird 224 . . . . . 6
496cnfldtopon 18800 . . . . . . . 8 fld TopOn
5049a1i 11 . . . . . . 7 fld TopOn
51 0cn 9068 . . . . . . . 8
5251a1i 11 . . . . . . 7
53 1z 10295 . . . . . . . 8
5453a1i 11 . . . . . . 7
55 nnuz 10505 . . . . . . . 8
5655lmconst 17308 . . . . . . 7 fld TopOn fld
5750, 52, 54, 56syl3anc 1184 . . . . . 6 fld
5848, 57eqbrtrd 4219 . . . . 5 fld
598, 22, 58lmmo 17427 . . . 4
60 elnlfn 23414 . . . . 5
6123, 60ax-mp 8 . . . 4
625, 59, 61sylanbrc 646 . . 3
6362gen2 1556 . 2
64 isch2 22709 . 2
652, 63, 64mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2692   wss 3307  csn 3801  cop 3804   class class class wbr 4199   cxp 4862   cres 4866   ccom 4868   wfn 5435  wf 5436  cfv 5440  (class class class)co 6067   cmap 7004  cc 8972  cc0 8974  c1 8975  cn 9984  cz 10266  ctopn 13632  cmopn 16674  ℂfldccnfld 16686  TopOnctopon 16942   ccn 17271  clm 17273  cha 17355  chil 22405   cva 22406   csm 22407  cno 22409   cmv 22411   chli 22413  csh 22414  cch 22415  cnl 22438  ccnfn 22439  clf 22440 This theorem is referenced by:  riesz3i  23548 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054  ax-hilex 22485  ax-hfvadd 22486  ax-hvcom 22487  ax-hvass 22488  ax-hv0cl 22489  ax-hvaddid 22490  ax-hfvmul 22491  ax-hvmulid 22492  ax-hvmulass 22493  ax-hvdistr1 22494  ax-hvdistr2 22495  ax-hvmul0 22496  ax-hfi 22564  ax-his1 22567  ax-his2 22568  ax-his3 22569  ax-his4 22570 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-icc 10907  df-fz 11028  df-seq 11307  df-exp 11366  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-rest 13633  df-topn 13634  df-topgen 13650  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-cnfld 16687  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-topsp 16950  df-cn 17274  df-cnp 17275  df-lm 17276  df-haus 17362  df-xms 18333  df-ms 18334  df-grpo 21762  df-gid 21763  df-ginv 21764  df-gdiv 21765  df-ablo 21853  df-vc 22008  df-nv 22054  df-va 22057  df-ba 22058  df-sm 22059  df-0v 22060  df-vs 22061  df-nmcv 22062  df-ims 22063  df-hnorm 22454  df-hvsub 22457  df-hlim 22458  df-sh 22692  df-ch 22707  df-nlfn 23332  df-cnfn 23333  df-lnfn 23334
 Copyright terms: Public domain W3C validator