Theorem nlt1pi 5033

Description: No positive integer is less than one.

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	|- -. A <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 5004	. . . 4 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ A =/= (/)))
2	1	pm3.27bi 326	. . 3 |- (A e. N. -> A =/= (/))
3		noel 2284	. . . . . 6 |- -. A e. (/)
4		1pi 5011	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. N.
5		ltpiord 5015	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. N. /\ 1o e. N.) -> (A <N 1o <-> A e. 1o))
6	4, 5	mpan2 696	. . . . . . . . 9 |- (A e. N. -> (A <N 1o <-> A e. 1o))
7		elsucg 3036	. . . . . . . . . 10 |- (A e. N. -> (A e. suc (/) <-> (A e. (/) \/ A = (/))))
8		df-1o 4133	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
9	8	eleq2i 1538	. . . . . . . . . 10 |- (A e. 1o <-> A e. suc (/))
10	7, 9	syl5bb 532	. . . . . . . . 9 |- (A e. N. -> (A e. 1o <-> (A e. (/) \/ A = (/))))
11	6, 10	bitrd 528	. . . . . . . 8 |- (A e. N. -> (A <N 1o <-> (A e. (/) \/ A = (/))))
12	11	biimpa 416	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ A <N 1o) -> (A e. (/) \/ A = (/)))
13	12	ord 232	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ A <N 1o) -> (-. A e. (/) -> A = (/)))
14	3, 13	mpi 44	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ A <N 1o) -> A = (/))
15	14	ex 373	. . . 4 |- (A e. N. -> (A <N 1o -> A = (/)))
16	15	necon3ad 1602	. . 3 |- (A e. N. -> (A =/= (/) -> -. A <N 1o))
17	2, 16	mpd 26	. 2 |- (A e. N. -> -. A <N 1o)
18	4	elisseti 1818	. . . . 5 |- 1o e. V
19		ltrelpi 5017	. . . . 5 |- <N (_ (N. X. N.)
20	18, 19	brel 3223	. . . 4 |- (A <N 1o -> (A e. N. /\ 1o e. N.))
21	20	pm3.26d 321	. . 3 |- (A <N 1o -> A e. N.)
22	21	con3i 98	. 2 |- (-. A e. N. -> -. A <N 1o)
23	17, 22	pm2.61i 126	1 |- -. A <N 1o

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  suc csuc 2950  omcom 3131  1oc1o 4128  N.cnpi 4972   <N clti 4975

This theorem is referenced by:  indpi 5034  prlem934b 5138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-1o 4133  df-ni 5000  df-lti 5003

Copyright terms: Public domain