Theorem nmblolbi 8460

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator.

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	|- X = (Base` U)
nmblolbi.4	|- L = (norm` U)
nmblolbi.5	|- M = (norm` W)
nmblolbi.6	|- N = (UnormOpW)
nmblolbi.7	|- B = (U BLnOp W)
nmblolbi.u	|- U e. NrmCVec
nmblolbi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmblolbi	|- ((T e. B /\ A e. X) -> (M` (T` A)) <_ ((N` T) x. (L` A)))

Proof of Theorem nmblolbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 3723	. . . . . 6 |- (T = if(T e. B, T, (U 0op W)) -> (T` A) = (if(T e. B, T, (U 0op W))` A))
2	1	fveq2d 3728	. . . . 5 |- (T = if(T e. B, T, (U 0op W)) -> (M` (T` A)) = (M` (if(T e. B, T, (U 0op W))` A)))
3		fveq2 3724	. . . . . 6 |- (T = if(T e. B, T, (U 0op W)) -> (N` T) = (N` if(T e. B, T, (U 0op W))))
4	3	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (T = if(T e. B, T, (U 0op W)) -> ((N` T) x. (L` A)) = ((N` if(T e. B, T, (U 0op W))) x. (L` A)))
5	2, 4	breq12d 2631	. . . 4 |- (T = if(T e. B, T, (U 0op W)) -> ((M` (T` A)) <_ ((N` T) x. (L` A)) <-> (M` (if(T e. B, T, (U 0op W))` A)) <_ ((N` if(T e. B, T, (U 0op W))) x. (L` A))))
6	5	imbi2d 612	. . 3 |- (T = if(T e. B, T, (U 0op W)) -> ((A e. X -> (M` (T` A)) <_ ((N` T) x. (L` A))) <-> (A e. X -> (M` (if(T e. B, T, (U 0op W))` A)) <_ ((N` if(T e. B, T, (U 0op W))) x. (L` A)))))
7		nmblolbi.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
8		nmblolbi.4	. . . 4 |- L = (norm` U)
9		nmblolbi.5	. . . 4 |- M = (norm` W)
10		nmblolbi.6	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
11		nmblolbi.7	. . . 4 |- B = (U BLnOp W)
12		nmblolbi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
13		nmblolbi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
14		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (U 0op W) = (U 0op W)
15	14, 11	0blo 8452	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (U 0op W) e. B)
16	12, 13, 15	mp2an 697	. . . . 5 |- (U 0op W) e. B
17	16	elimel 2394	. . . 4 |- if(T e. B, T, (U 0op W)) e. B
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17	nmblolbii 8459	. . 3 |- (A e. X -> (M` (if(T e. B, T, (U 0op W))` A)) <_ ((N` if(T e. B, T, (U 0op W))) x. (L` A)))
19	6, 18	dedth 2383	. 2 |- (T e. B -> (A e. X -> (M` (T` A)) <_ ((N` T) x. (L` A))))
20	19	imp 350	1 |- ((T e. B /\ A e. X) -> (M` (T` A)) <_ ((N` T) x. (L` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   x. cmul 5239   <_ cle 5295  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  normcnm 8209  normOpcnmo 8402   BLnOp cblo 8403   0op c0o 8404

This theorem is referenced by:  isblo3i 8461  blometi 8463  htthlem8 8627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-2 5970  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-lno 8405  df-nmo 8406  df-blo 8407  df-0o 8408

Copyright terms: Public domain