Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcexi Unicode version

Theorem nmcexi 22622
 Description: Lemma for nmcopexi 22623 and nmcfnexi 22647. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcex.1
nmcex.2
nmcex.3
nmcex.4
nmcex.5
Assertion
Ref Expression
nmcexi
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)

Proof of Theorem nmcexi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcex.2 . . 3
2 nmcex.3 . . . . . . . . 9
3 eleq1 2356 . . . . . . . . 9
42, 3syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8
54imp 418 . . . . . . 7
65adantrl 696 . . . . . 6
76rexlimiva 2675 . . . . 5
87abssi 3261 . . . 4
9 ax-hv0cl 21599 . . . . . . 7
10 norm0 21723 . . . . . . . . 9
11 0le1 9313 . . . . . . . . 9
1210, 11eqbrtri 4058 . . . . . . . 8
13 nmcex.4 . . . . . . . . 9
1413eqcomi 2300 . . . . . . . 8
1512, 14pm3.2i 441 . . . . . . 7
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
1716breq1d 4049 . . . . . . . . 9
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
1918fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
2019eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9
2117, 20anbi12d 691 . . . . . . . 8
2221rspcev 2897 . . . . . . 7
239, 15, 22mp2an 653 . . . . . 6
24 c0ex 8848 . . . . . . 7
25 eqeq1 2302 . . . . . . . . 9
2625anbi2d 684 . . . . . . . 8
2726rexbidv 2577 . . . . . . 7
2824, 27elab 2927 . . . . . 6
2923, 28mpbir 200 . . . . 5
30 ne0i 3474 . . . . 5
3129, 30ax-mp 8 . . . 4
32 nmcex.1 . . . . 5
33 2rp 10375 . . . . . . . . . 10
34 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . 10
3533, 34mpan 651 . . . . . . . . 9
3635rpred 10406 . . . . . . . 8
3736adantr 451 . . . . . . 7
38 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 hvmulcl 21609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4948ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5449, 51, 53lemul2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5547, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57 norm-iii 21735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5856, 57sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
59 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
60 rpge0 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6159, 60absidd 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6261oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6458, 63eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6553, 42, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6641mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6755, 65, 663brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 rphalflt 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7046, 40, 39, 67, 69lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7473fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7574breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7672, 75imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7776rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7844, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7970, 78mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . 15
802ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180, 51, 53ltmuldiv2d 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8253rprecred 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8480, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8581, 84sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 nmcex.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8753, 42, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 rpne0 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
91 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
93 recdiv 9482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9491, 92, 93mpanr12 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9589, 90, 94syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9885, 88, 973imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . 15
9979, 98syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14
10099imp 418 . . . . . . . . . . . . 13
101100an32s 779 . . . . . . . . . . . 12
102101anassrs 629 . . . . . . . . . . 11
103 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11
104102, 103syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10
105104expimpd 586 . . . . . . . . 9
106105rexlimdva 2680 . . . . . . . 8
107106alrimiv 1621 . . . . . . 7
108 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . 12
109108anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11
110109rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10
111110ralab 2939 . . . . . . . . 9
112 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11
113112imbi2d 307 . . . . . . . . . 10
114113albidv 1615 . . . . . . . . 9
115111, 114syl5bb 248 . . . . . . . 8
116115rspcev 2897 . . . . . . 7
11737, 107, 116syl2anc 642 . . . . . 6
118117rexlimiva 2675 . . . . 5
11932, 118ax-mp 8 . . . 4
120 supxrre 10662 . . . 4
1218, 31, 119, 120mp3an 1277 . . 3
1221, 121eqtri 2316 . 2
123 suprcl 9730 . . 3
1248, 31, 119, 123mp3an 1277 . 2
125122, 124eqeltri 2366 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wal 1530   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  c2 9811  crp 10370  cabs 11735  chil 21515   csm 21517  cno 21519  c0v 21520 This theorem is referenced by:  nmcopexi  22623  nmcfnexi  22647 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hv0cl 21599  ax-hfvmul 21601  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his3 21679  ax-his4 21680 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-hnorm 21564
 Copyright terms: Public domain W3C validator