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Theorem nmcexi 22622
Description: Lemma for nmcopexi 22623 and nmcfnexi 22647. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcex.1  |-  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )
nmcex.2  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
nmcex.3  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
nmcex.4  |-  ( N `
 ( T `  0h ) )  =  0
nmcex.5  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nmcexi  |-  ( S `
 T )  e.  RR
Distinct variable groups:    x, m, y, z, N    T, m, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcex.2 . . 3  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
2 nmcex.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( m  e.  RR  <->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR ) )
42, 3syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  ->  m  e.  RR )
)
54imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  ->  m  e.  RR )
65adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )  ->  m  e.  RR )
76rexlimiva 2675 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  m  e.  RR )
87abssi 3261 . . . 4  |-  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR
9 ax-hv0cl 21599 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ~H
10 norm0 21723 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  0h )  =  0
11 0le1 9313 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
1210, 11eqbrtri 4058 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  0h )  <_  1
13 nmcex.4 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( T `  0h ) )  =  0
1413eqcomi 2300 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( N `  ( T `  0h )
)
1512, 14pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  0h )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0h  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  0h )
)
1716breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0h  ->  (
( normh `  x )  <_  1  <->  ( normh `  0h )  <_  1 ) )
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0h  ->  ( T `  x )  =  ( T `  0h ) )
1918fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0h  ->  ( N `  ( T `  x ) )  =  ( N `  ( T `  0h )
) )
2019eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0h  ->  (
0  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) ) )
2117, 20anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0h  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  0h )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) ) ) )
2221rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  ( ( normh `  0h )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  0h )
) ) )  ->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
239, 15, 22mp2an 653 . . . . . 6  |-  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x ) ) )
24 c0ex 8848 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
25 eqeq1 2302 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  0  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) )
2625anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) ) )
2726rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x ) ) ) ) )
2824, 27elab 2927 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
2923, 28mpbir 200 . . . . 5  |-  0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }
30 ne0i 3474 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  ->  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/) )
3129, 30ax-mp 8 . . . 4  |-  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)
32 nmcex.1 . . . . 5  |-  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )
33 2rp 10375 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
34 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
2  /  y )  e.  RR+ )
3533, 34mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 2  /  y )  e.  RR+ )
3635rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 2  /  y )  e.  RR )
3736adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  (
2  /  y )  e.  RR )
38 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
y  e.  RR )
4039rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
4140recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
42 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  ~H )
43 hvmulcl 21609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( y  / 
2 )  .h  x
)  e.  ~H )
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  .h  x
)  e.  ~H )
45 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  /  2
)  .h  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  e.  RR )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  e.  RR )
47 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  x )  <_  1 )
48 normcl 21720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
4948ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  x )  e.  RR )
50 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
1  e.  RR )
52 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
5449, 51, 53lemul2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  x
)  <_  1  <->  ( (
y  /  2 )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( y  /  2
)  x.  1 ) ) )
5547, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( y  /  2 )  x.  1 ) )
56 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  CC )
57 norm-iii 21735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  =  ( ( abs `  ( y  /  2
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
5856, 57sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  =  ( ( abs `  (
y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
59 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
60 rpge0 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( y  /  2
) )
6159, 60absidd 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( y  /  2
) )  =  ( y  /  2 ) )
6261oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x
) )  =  ( ( y  /  2
)  x.  ( normh `  x ) ) )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x ) )  =  ( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) ) )
6458, 63eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( normh `  x ) )  =  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )
6553, 42, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) )  =  ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )
6641mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  1 )  =  ( y  /  2 ) )
6755, 65, 663brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  <_  ( y  / 
2 ) )
68 rphalflt 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  < 
y )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  <  y )
7046, 40, 39, 67, 69lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  <  y )
71 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( normh `  z )  =  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )
7271breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( normh `  z )  <  y  <->  ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) )  <  y ) )
73 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( ( y  / 
2 )  .h  x
) ) )
7473fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( N `  ( T `  z ) )  =  ( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
7574breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( N `  ( T `  z )
)  <  1  <->  ( N `  ( T `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )  <  1
) )
7672, 75imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 )  <->  ( ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( T `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )  <  1
) ) )
7776rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  /  2
)  .h  x )  e.  ~H  ->  ( A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 )  -> 
( ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) )  <  y  -> 
( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) ) )
7844, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( y  / 
2 )  .h  x
) )  <  y  ->  ( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) ) )
7970, 78mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) )
802ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )
8180, 51, 53ltmuldiv2d 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  <->  ( N `  ( T `
 x ) )  <  ( 1  / 
( y  /  2
) ) ) )
8253rprecred 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  e.  RR )
83 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( 1  /  (
y  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  < 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  (
1  /  ( y  /  2 ) ) ) )
8480, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  -> 
( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
8581, 84sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
86 nmcex.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
8753, 42, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( N `  ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
8887breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  <->  ( N `  ( T `
 ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) )
89 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
90 rpne0 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
91 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
92 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
93 recdiv 9482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9491, 92, 93mpanr12 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9589, 90, 94syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  =  ( 2  /  y
) )
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9796breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  (
2  /  y ) ) )
9885, 88, 973imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1  -> 
( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 2  /  y ) ) )
9979, 98syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 2  /  y ) ) )
10099imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
101100an32s 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 ) )  /\  ( x  e. 
~H  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
102101anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 ) )  /\  x  e. 
~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
103 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( n  <_  ( 2  /  y
)  <->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 2  /  y ) ) )
104102, 103syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 ) )  /\  x  e. 
~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
n  =  ( N `
 ( T `  x ) )  ->  n  <_  ( 2  / 
y ) ) )
105104expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( (
normh `  x )  <_ 
1  /\  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )  ->  n  <_  ( 2  /  y ) ) )
106105rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  ->  n  <_  ( 2  / 
y ) ) )
107106alrimiv 1621 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) )
108 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) )
109108anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  /\  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) ) )
110109rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) ) ) )
111110ralab 2939 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z  <->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
) )
112 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  (
n  <_  z  <->  n  <_  ( 2  /  y ) ) )
113112imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  (
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) ) )
114113albidv 1615 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  ( A. n ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
)  <->  A. n ( E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  n  <_  ( 2  /  y
) ) ) )
115111, 114syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  ( A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z  <->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) ) )
116115rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  /  y
)  e.  RR  /\  A. n ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )
11737, 107, 116syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )
118117rexlimiva 2675 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z )
11932, 118ax-mp 8 . . . 4  |-  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z
120 supxrre 10662 . . . 4  |-  ( ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR  /\  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )  ->  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  ) )
1218, 31, 119, 120mp3an 1277 . . 3  |-  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  )
1221, 121eqtri 2316 . 2  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  )
123 suprcl 9730 . . 3  |-  ( ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR  /\  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )  ->  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1248, 31, 119, 123mp3an 1277 . 2  |-  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  RR
125122, 124eqeltri 2366 1  |-  ( S `
 T )  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   abscabs 11735   ~Hchil 21515    .h csm 21517   normhcno 21519   0hc0v 21520
This theorem is referenced by:  nmcopexi  22623  nmcfnexi  22647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hv0cl 21599  ax-hfvmul 21601  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-hnorm 21564
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