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Theorem nmcexi 23517
Description: Lemma for nmcopexi 23518 and nmcfnexi 23542. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcex.1  |-  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )
nmcex.2  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
nmcex.3  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
nmcex.4  |-  ( N `
 ( T `  0h ) )  =  0
nmcex.5  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nmcexi  |-  ( S `
 T )  e.  RR
Distinct variable groups:    x, m, y, z, N    T, m, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, m)

Proof of Theorem nmcexi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcex.2 . . 3  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
2 nmcex.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( m  e.  RR  <->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR ) )
42, 3syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  ->  m  e.  RR )
)
54imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  ->  m  e.  RR )
65adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )  ->  m  e.  RR )
76rexlimiva 2817 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  m  e.  RR )
87abssi 3410 . . . 4  |-  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } 
C_  RR
9 ax-hv0cl 22494 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ~H
10 norm0 22618 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  0h )  =  0
11 0le1 9540 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
1210, 11eqbrtri 4223 . . . . . . . 8  |-  ( normh `  0h )  <_  1
13 nmcex.4 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( T `  0h ) )  =  0
1413eqcomi 2439 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( N `  ( T `  0h )
)
1512, 14pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  0h )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) )
16 fveq2 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0h  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  0h )
)
1716breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0h  ->  (
( normh `  x )  <_  1  <->  ( normh `  0h )  <_  1 ) )
18 fveq2 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0h  ->  ( T `  x )  =  ( T `  0h ) )
1918fveq2d 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0h  ->  ( N `  ( T `  x ) )  =  ( N `  ( T `  0h )
) )
2019eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0h  ->  (
0  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) ) )
2117, 20anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0h  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  0h )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 0h ) ) ) ) )
2221rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  ( ( normh `  0h )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  0h )
) ) )  ->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
239, 15, 22mp2an 654 . . . . . 6  |-  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x ) ) )
24 c0ex 9074 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
25 eqeq1 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  0  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) )
2625anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  /\  0  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) ) )
2726rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x ) ) ) ) )
2824, 27elab 3074 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  0  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
2923, 28mpbir 201 . . . . 5  |-  0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }
30 ne0i 3626 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  ->  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/) )
3129, 30ax-mp 8 . . . 4  |-  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)
32 nmcex.1 . . . . 5  |-  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )
33 2rp 10606 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
34 rpdivcl 10623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
2  /  y )  e.  RR+ )
3533, 34mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 2  /  y )  e.  RR+ )
3635rpred 10637 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 2  /  y )  e.  RR )
3736adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  (
2  /  y )  e.  RR )
38 rpre 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
3938adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
y  e.  RR )
4039rehalfcld 10203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
4140recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
42 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  ~H )
43 hvmulcl 22504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( y  / 
2 )  .h  x
)  e.  ~H )
4441, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  .h  x
)  e.  ~H )
45 normcl 22615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  /  2
)  .h  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  e.  RR )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  e.  RR )
47 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  x )  <_  1 )
48 normcl 22615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
4948ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  x )  e.  RR )
50 1re 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
1  e.  RR )
52 rphalfcl 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
5449, 51, 53lemul2d 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( normh `  x
)  <_  1  <->  ( (
y  /  2 )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( y  /  2
)  x.  1 ) ) )
5547, 54mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( y  /  2 )  x.  1 ) )
56 rpcn 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  CC )
57 norm-iii 22630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  =  ( ( abs `  ( y  /  2
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
5856, 57sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  =  ( ( abs `  (
y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
59 rpre 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
60 rpge0 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( y  /  2
) )
6159, 60absidd 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( y  /  2
) )  =  ( y  /  2 ) )
6261oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x
) )  =  ( ( y  /  2
)  x.  ( normh `  x ) ) )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( abs `  (
y  /  2 ) )  x.  ( normh `  x ) )  =  ( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) ) )
6458, 63eqtr2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( normh `  x ) )  =  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )
6553, 42, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( normh `  x ) )  =  ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )
6641mulid1d 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  1 )  =  ( y  /  2 ) )
6755, 65, 663brtr3d 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  <_  ( y  / 
2 ) )
68 rphalflt 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  < 
y )
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( y  /  2
)  <  y )
7046, 40, 39, 67, 69lelttrd 9217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) )  <  y )
71 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( normh `  z )  =  ( normh `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )
7271breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( normh `  z )  <  y  <->  ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) )  <  y ) )
73 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( ( y  / 
2 )  .h  x
) ) )
7473fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  ( N `  ( T `  z ) )  =  ( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
7574breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( N `  ( T `  z )
)  <  1  <->  ( N `  ( T `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )  <  1
) )
7672, 75imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( ( y  /  2 )  .h  x )  ->  (
( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 )  <->  ( ( normh `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( T `  (
( y  /  2
)  .h  x ) ) )  <  1
) ) )
7776rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  /  2
)  .h  x )  e.  ~H  ->  ( A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 )  -> 
( ( normh `  (
( y  /  2
)  .h  x ) )  <  y  -> 
( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) ) )
7844, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( y  / 
2 )  .h  x
) )  <  y  ->  ( N `  ( T `  ( (
y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) ) )
7970, 78mpid 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) )
802ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )
8180, 51, 53ltmuldiv2d 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  <->  ( N `  ( T `
 x ) )  <  ( 1  / 
( y  /  2
) ) ) )
8253rprecred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  e.  RR )
83 ltle 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( 1  /  (
y  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  < 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  (
1  /  ( y  /  2 ) ) ) )
8480, 82, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  -> 
( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
8581, 84sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
86 nmcex.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  /  2
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
8753, 42, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  x.  ( N `  ( T `  x ) ) )  =  ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) ) )
8887breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <  1  <->  ( N `  ( T `
 ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1 ) )
89 rpcn 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
90 rpne0 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
91 2cn 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
92 2ne0 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
93 recdiv 9709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9491, 92, 93mpanr12 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9589, 90, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  =  ( 2  /  y
) )
9695adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  2 ) )  =  ( 2  /  y ) )
9796breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 1  /  ( y  / 
2 ) )  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  (
2  /  y ) ) )
9885, 88, 973imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( ( N `  ( T `  ( ( y  /  2 )  .h  x ) ) )  <  1  -> 
( N `  ( T `  x )
)  <_  ( 2  /  y ) ) )
9979, 98syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  -> 
( A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 2  /  y ) ) )
10099imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 ) )  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
101100an32s 780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 ) )  /\  ( x  e. 
~H  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
102101anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 ) )  /\  x  e. 
~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
( 2  /  y
) )
103 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( n  <_  ( 2  /  y
)  <->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  ( 2  /  y ) ) )
104102, 103syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e. 
~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 ) )  /\  x  e. 
~H )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
n  =  ( N `
 ( T `  x ) )  ->  n  <_  ( 2  / 
y ) ) )
105104expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z
)  <  y  ->  ( N `  ( T `
 z ) )  <  1 ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( (
normh `  x )  <_ 
1  /\  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )  ->  n  <_  ( 2  /  y ) ) )
106105rexlimdva 2822 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  ->  n  <_  ( 2  / 
y ) ) )
107106alrimiv 1641 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) )
108 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  ( N `
 ( T `  x ) )  <->  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) )
109108anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  /\  n  =  ( N `  ( T `
 x ) ) ) ) )
110109rexbidv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) ) ) )
111110ralab 3087 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z  <->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
) )
112 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  (
n  <_  z  <->  n  <_  ( 2  /  y ) ) )
113112imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  (
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) ) )
114113albidv 1635 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  ( A. n ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  z
)  <->  A. n ( E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  n  <_  ( 2  /  y
) ) ) )
115111, 114syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 2  / 
y )  ->  ( A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z  <->  A. n
( E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) ) )
116115rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  /  y
)  e.  RR  /\  A. n ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  n  =  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  n  <_  (
2  /  y ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )
11737, 107, 116syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  A. z  e.  ~H  (
( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z
) )  <  1
) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )
118117rexlimiva 2817 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ~H  ( ( normh `  z )  <  y  ->  ( N `  ( T `  z )
)  <  1 )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } n  <_  z )
11932, 118ax-mp 8 . . . 4  |-  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z
120 supxrre 10895 . . . 4  |-  ( ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR  /\  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )  ->  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  ) )
1218, 31, 119, 120mp3an 1279 . . 3  |-  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  )
1221, 121eqtri 2455 . 2  |-  ( S `
 T )  =  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) } ,  RR ,  <  )
123 suprcl 9957 . . 3  |-  ( ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR  /\  { m  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x
) ) ) }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. n  e. 
{ m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } n  <_  z )  ->  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1248, 31, 119, 123mp3an 1279 . 2  |-  sup ( { m  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  m  =  ( N `  ( T `  x )
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  RR
125122, 124eqeltri 2505 1  |-  ( S `
 T )  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   supcsup 7436   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    x. cmul 8984   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110    / cdiv 9666   2c2 10038   RR+crp 10601   abscabs 12027   ~Hchil 22410    .h csm 22412   normhcno 22414   0hc0v 22415
This theorem is referenced by:  nmcopexi  23518  nmcfnexi  23542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-hv0cl 22494  ax-hfvmul 22496  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his3 22574  ax-his4 22575
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-hnorm 22459
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