HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnlb Unicode version

Theorem nmcfnlb 22580
Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcfnlb  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  A )
) )

Proof of Theorem nmcfnlb
StepHypRef Expression
1 elin 3319 . . 3  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn ) )
2 fveq1 5443 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( T `  A
)  =  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )
32fveq2d 5448 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) ) )
4 fveq2 5444 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( normfn `  T )  =  ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) ) )
54oveq1d 5793 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  =  ( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A ) ) )
63, 5breq12d 3996 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
)  <->  ( abs `  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )  <_  ( ( normfn `
 if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) ) )
76imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( A  e. 
~H  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) )  <->  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )  <_ 
( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A ) ) ) ) )
8 0lnfn 22511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
9 0cnfn 22506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ConFn
10 elin 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  /\  ( ~H  X.  { 0 } )  e.  ConFn ) )
118, 9, 10mpbir2an 891 . . . . . . . . 9  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
1211elimel 3577 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
13 elin 3319 . . . . . . . 8  |-  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn  /\  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn ) )
1412, 13mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  LinFn  /\  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ConFn )
1514simpli 446 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn
1614simpri 450 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn
1715, 16nmcfnlbi 22578 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 A ) )  <_  ( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A )
) )
187, 17dedth 3566 . . . 4  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( A  e. 
~H  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) ) )
1918imp 420 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  A  e. 
~H )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
201, 19sylanbr 461 . 2  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) )
21203impa 1151 1  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3112   ifcif 3525   {csn 3600   class class class wbr 3983    X. cxp 4645   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   0cc0 8691    x. cmul 8696    <_ cle 8822   abscabs 11670   ~Hchil 21445   normhcno 21449   normfncnmf 21477   ConFnccnfn 21479   LinFnclf 21480
This theorem is referenced by:  lnfnconi  22581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-hilex 21525  ax-hfvadd 21526  ax-hv0cl 21529  ax-hvaddid 21530  ax-hfvmul 21531  ax-hvmulid 21532  ax-hvmulass 21533  ax-hvmul0 21536  ax-hfi 21604  ax-his1 21607  ax-his3 21609  ax-his4 21610
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-rp 10308  df-seq 10999  df-exp 11057  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-hnorm 21494  df-hvsub 21497  df-nmfn 22371  df-cnfn 22373  df-lnfn 22374
  Copyright terms: Public domain W3C validator