HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnlb Unicode version

Theorem nmcfnlb 23510
Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcfnlb  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  A )
) )

Proof of Theorem nmcfnlb
StepHypRef Expression
1 elin 3490 . . 3  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn ) )
2 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( T `  A
)  =  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )
32fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) ) )
4 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( normfn `  T )  =  ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) ) )
54oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  =  ( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A ) ) )
63, 5breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
)  <->  ( abs `  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )  <_  ( ( normfn `
 if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) ) )
76imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( A  e. 
~H  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) )  <->  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  A ) )  <_ 
( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A ) ) ) ) )
8 0lnfn 23441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
9 0cnfn 23436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ConFn
10 elin 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  /\  ( ~H  X.  { 0 } )  e.  ConFn ) )
118, 9, 10mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
1211elimel 3751 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
13 elin 3490 . . . . . . . 8  |-  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn  /\  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn ) )
1412, 13mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  LinFn  /\  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ConFn )
1514simpli 445 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn
1614simpri 449 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn
1715, 16nmcfnlbi 23508 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 A ) )  <_  ( ( normfn `  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) )  x.  ( normh `  A )
) )
187, 17dedth 3740 . . . 4  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  ( A  e. 
~H  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) ) )
1918imp 419 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  A  e. 
~H )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
201, 19sylanbr 460 . 2  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  A )
) )
21203impa 1148 1  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3279   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946    x. cmul 8951    <_ cle 9077   abscabs 11994   ~Hchil 22375   normhcno 22379   normfncnmf 22407   ConFnccnfn 22409   LinFnclf 22410
This theorem is referenced by:  lnfnconi  23511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-hnorm 22424  df-hvsub 22427  df-nmfn 23301  df-cnfn 23303  df-lnfn 23304
  Copyright terms: Public domain W3C validator