Theorem nmcfnlbt 9945

Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99.

Assertion

Ref	Expression
nmcfnlbt	|- ((T e. LinFn /\ T e. ConFn /\ A e. H~) -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)))

Proof of Theorem nmcfnlbt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 3718	. . . . . . . 8 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) -> (T` A) = (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))` A))
2	1	fveq2d 3723	. . . . . . 7 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) -> (abs` (T` A)) = (abs` (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))` A)))
3		fveq2 3719	. . . . . . . 8 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) -> (normfn` T) = (normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))))
4	3	opreq1d 3970	. . . . . . 7 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) -> ((normfn` T) x. (normh` A)) = ((normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))) x. (normh` A)))
5	2, 4	breq12d 2627	. . . . . 6 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) -> ((abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)) <-> (abs` (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))` A)) <_ ((normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))) x. (normh` A))))
6	5	imbi2d 611	. . . . 5 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) -> ((A e. H~ -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A))) <-> (A e. H~ -> (abs` (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))` A)) <_ ((normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))) x. (normh` A)))))
7		elin 2204	. . . . . . . . . 10 |- ((H~ X. {0}) e. (LinFn i^i ConFn) <-> ((H~ X. {0}) e. LinFn /\ (H~ X. {0}) e. ConFn))
8		0lnfn 9866	. . . . . . . . . 10 |- (H~ X. {0}) e. LinFn
9		0cnfn 9861	. . . . . . . . . 10 |- (H~ X. {0}) e. ConFn
10	7, 8, 9	mpbir2an 729	. . . . . . . . 9 |- (H~ X. {0}) e. (LinFn i^i ConFn)
11	10	elimel 2391	. . . . . . . 8 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) e. (LinFn i^i ConFn)
12		elin 2204	. . . . . . . 8 |- (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) e. (LinFn i^i ConFn) <-> (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) e. LinFn /\ if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) e. ConFn))
13	11, 12	mpbi 189	. . . . . . 7 |- (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) e. LinFn /\ if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) e. ConFn)
14	13	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) e. LinFn
15	13	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0})) e. ConFn
16	14, 15	nmcfnlb 9943	. . . . 5 |- (A e. H~ -> (abs` (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))` A)) <_ ((normfn` if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (H~ X. {0}))) x. (normh` A)))
17	6, 16	dedth 2380	. . . 4 |- (T e. (LinFn i^i ConFn) -> (A e. H~ -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A))))
18	17	imp 350	. . 3 |- ((T e. (LinFn i^i ConFn) /\ A e. H~) -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)))
19		elin 2204	. . 3 |- (T e. (LinFn i^i ConFn) <-> (T e. LinFn /\ T e. ConFn))
20	18, 19	sylanbr 450	. 2 |- (((T e. LinFn /\ T e. ConFn) /\ A e. H~) -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)))
21	20	3impa 827	1 |- ((T e. LinFn /\ T e. ConFn /\ A e. H~) -> (abs` (T` A)) <_ ((normfn` T) x. (normh` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   i^i cin 2043  ifcif 2358  {csn 2406   class class class wbr 2615   X. cxp 3164  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  0cc0 5217   x. cmul 5222   <_ cle 5278  abscabs 6696  H~chil 8743  normhcno 8749  norm_fncnmf 8775  ConFnccnf 8777  LinFnclf 8778

This theorem is referenced by:  lnfncon 9946

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his3 8906  ax-his4 8907

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-uz 6363  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-hnorm 8792  df-hvsub 8795  df-nmfn 9728  df-cnfn 9730  df-lnfn 9731

Copyright terms: Public domain