Theorem nmcopexlem2 9947

Description: Lemma for nmcopex 9952. Apply definition of continuity. Note that we use 1 instead of 0.5 that Beran uses for epsilon (e = 0.5 in his proof).

Hypotheses

Ref	Expression
nmcopex.1	|- T e. LinOp
nmcopex.2	|- T e. ConOp

Assertion

Ref	Expression
nmcopexlem2	|- E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (normh` (T` z)) < 1))

Distinct variable group:   y,z,T

Proof of Theorem nmcopexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcopex.2	. . . 4 |- T e. ConOp
2		ax-hv0cl 8868	. . . 4 |- 0h e. H~
3	1, 2	pm3.2i 285	. . 3 |- (T e. ConOp /\ 0h e. H~)
4		1re 5447	. . . 4 |- 1 e. RR
5		lt01 5692	. . . 4 |- 0 < 1
6	4, 5	pm3.2i 285	. . 3 |- (1 e. RR /\ 0 < 1)
7		cnopct 9832	. . 3 |- (((T e. ConOp /\ 0h e. H~) /\ (1 e. RR /\ 0 < 1)) -> E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (normh` ((T` z) -h (T` 0h))) < 1)))
8	3, 6, 7	mp2an 699	. 2 |- E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (normh` ((T` z) -h (T` 0h))) < 1))
9		hvsub0t 8938	. . . . . . . 8 |- (z e. H~ -> (z -h 0h) = z)
10	9	fveq2d 3734	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> (normh` (z -h 0h)) = (normh` z))
11	10	breq1d 2634	. . . . . 6 |- (z e. H~ -> ((normh` (z -h 0h)) < y <-> (normh` z) < y))
12		nmcopex.1	. . . . . . . . . . . 12 |- T e. LinOp
13	12	lnopf 9888	. . . . . . . . . . 11 |- T:H~-->H~
14	13	ffvelrni 3821	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> (T` z) e. H~)
15		hvsub0t 8938	. . . . . . . . . 10 |- ((T` z) e. H~ -> ((T` z) -h 0h) = (T` z))
16	14, 15	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (z e. H~ -> ((T` z) -h 0h) = (T` z))
17	12	lnop0 9889	. . . . . . . . . 10 |- (T` 0h) = 0h
18	17	opreq2i 3978	. . . . . . . . 9 |- ((T` z) -h (T` 0h)) = ((T` z) -h 0h)
19	16, 18	syl5eq 1522	. . . . . . . 8 |- (z e. H~ -> ((T` z) -h (T` 0h)) = (T` z))
20	19	fveq2d 3734	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> (normh` ((T` z) -h (T` 0h))) = (normh` (T` z)))
21	20	breq1d 2634	. . . . . 6 |- (z e. H~ -> ((normh` ((T` z) -h (T` 0h))) < 1 <-> (normh` (T` z)) < 1))
22	11, 21	imbi12d 628	. . . . 5 |- (z e. H~ -> (((normh` (z -h 0h)) < y -> (normh` ((T` z) -h (T` 0h))) < 1) <-> ((normh` z) < y -> (normh` (T` z)) < 1)))
23	22	ralbiia 1676	. . . 4 |- (A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (normh` ((T` z) -h (T` 0h))) < 1) <-> A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (normh` (T` z)) < 1))
24	23	anbi2i 482	. . 3 |- ((0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (normh` ((T` z) -h (T` 0h))) < 1)) <-> (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (normh` (T` z)) < 1)))
25	24	rexbii 1671	. 2 |- (E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (normh` ((T` z) -h (T` 0h))) < 1)) <-> E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (normh` (T` z)) < 1)))
26	8, 25	mpbi 189	1 |- E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (normh` (T` z)) < 1))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   < clt 5498  H~chil 8783  0hc0v 8786   -h cmv 8787  normhcno 8789  ConOpcco 8810  LinOpclo 8811

This theorem is referenced by:  nmcopexlem6 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-hvsub 8835  df-cnop 9761  df-lnop 9762

Copyright terms: Public domain