Theorem nmcopexlem4 9954

Description: Lemma for nmcopex 9957. Properties of the infimum of a collection of integers whose reciprocals are less than a real number y (which will later become the "epsilon" of the epsilon/delta continuity definition df-cnop 9766). Note that `' < in the fourth hypothesis signifies infimum. (This lemma involves only real numbers and is independent of Hilbert space. The first two hypotheses aren't used.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcopex.1	|- T e. LinOp
nmcopex.2	|- T e. ConOp
nmcopexlem4.3	|- A = {k e. NN | (1 / k) < y}
nmcopexlem4.4	|- M = sup(A, RR, `' < )

Assertion

Ref	Expression
nmcopexlem4	|- ((y e. RR /\ 0 < y) -> (M e. NN /\ (1 / M) < y))

Distinct variable groups:   k,M   y,k,T

Proof of Theorem nmcopexlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnreclt 6072	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> E.k e. NN (1 / k) < y)
2		rabn0 2292	. . . . . . 7 |- ({k e. NN | (1 / k) < y} =/= (/) <-> E.k e. NN (1 / k) < y)
3	1, 2	sylibr 200	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> {k e. NN | (1 / k) < y} =/= (/))
4		nmcopexlem4.3	. . . . . . 7 |- A = {k e. NN | (1 / k) < y}
5	4	neeq1i 1592	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> {k e. NN | (1 / k) < y} =/= (/))
6	3, 5	sylibr 200	. . . . 5 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> A =/= (/))
7		ssrab2 2131	. . . . . . . 8 |- {k e. NN | (1 / k) < y} (_ NN
8	4, 7	eqsstr 2091	. . . . . . 7 |- A (_ NN
9		nnuz 6439	. . . . . . 7 |- NN = (ZZ>` 1)
10	8, 9	sseqtr 2093	. . . . . 6 |- A (_ (ZZ>` 1)
11		infmssuzcl 6466	. . . . . 6 |- ((A (_ (ZZ>` 1) /\ A =/= (/)) -> sup(A, RR, `' < ) e. A)
12	10, 11	mpan 695	. . . . 5 |- (A =/= (/) -> sup(A, RR, `' < ) e. A)
13	6, 12	syl 10	. . . 4 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> sup(A, RR, `' < ) e. A)
14	13, 4	syl6eleq 1558	. . 3 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> sup(A, RR, `' < ) e. {k e. NN | (1 / k) < y})
15		nmcopexlem4.4	. . 3 |- M = sup(A, RR, `' < )
16	14, 15	syl5eqel 1552	. 2 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> M e. {k e. NN | (1 / k) < y})
17		opreq2 3969	. . . 4 |- (k = M -> (1 / k) = (1 / M))
18	17	breq1d 2629	. . 3 |- (k = M -> ((1 / k) < y <-> (1 / M) < y))
19	18	elrab 1905	. 2 |- (M e. {k e. NN | (1 / k) < y} <-> (M e. NN /\ (1 / M) < y))
20	16, 19	sylib 198	1 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> (M e. NN /\ (1 / M) < y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  `'ccnv 3169  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   / cdiv 5294  NNcn 5296   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  ConOpcco 8815  LinOpclo 8816

This theorem is referenced by:  nmcopexlem5 9955  nmcopexlem6 9956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-uz 6418

Copyright terms: Public domain