HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcoplb Unicode version

Theorem nmcoplb 22612
Description: A lower bound for the norm of a continuous linear Hilbert space operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcoplb  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )

Proof of Theorem nmcoplb
StepHypRef Expression
1 elin 3360 . . 3  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  <-> 
( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp ) )
2 fveq1 5526 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T `  A )  =  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  A ) )
32fveq2d 5531 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  A )
) )
4 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( normop `  T
)  =  ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) ) )
54oveq1d 5875 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) )  =  ( ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
63, 5breq12d 4038 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  <->  ( normh `  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  A )
)  <_  ( ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) ) )
76imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( A  e.  ~H  ->  (
normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )  <-> 
( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  A )
)  <_  ( ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) ) ) )
8 idlnop 22574 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
9 idcnop 22563 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  ConOp
10 elin 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  <->  ( (  _I  |`  ~H )  e. 
LinOp  /\  (  _I  |`  ~H )  e.  ConOp ) )
118, 9, 10mpbir2an 886 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  (
LinOp  i^i  ConOp )
1211elimel 3619 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )
13 elin 3360 . . . . . . . 8  |-  ( if ( T  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  <->  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  ConOp ) )
1412, 13mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( if ( T  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  ConOp )
1514simpli 444 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp
1614simpri 448 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  ConOp
1715, 16nmcoplbi 22610 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  A )
)  <_  ( ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
187, 17dedth 3608 . . . 4  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( A  e. 
~H  ->  ( normh `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) ) ) )
1918imp 418 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A  e. 
~H )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
201, 19sylanbr 459 . 2  |-  ( ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp )  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
21203impa 1146 1  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    i^i cin 3153   ifcif 3567   class class class wbr 4025    _I cid 4306    |` cres 4693   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    x. cmul 8744    <_ cle 8870   ~Hchil 21501   normhcno 21505   normopcnop 21527   ConOpccop 21528   LinOpclo 21529
This theorem is referenced by:  lnopconi  22616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-hilex 21581  ax-hfvadd 21582  ax-hvcom 21583  ax-hvass 21584  ax-hv0cl 21585  ax-hvaddid 21586  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulid 21588  ax-hvmulass 21589  ax-hvdistr1 21590  ax-hvdistr2 21591  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his2 21664  ax-his3 21665  ax-his4 21666
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-grpo 20860  df-gid 20861  df-ablo 20951  df-vc 21104  df-nv 21150  df-va 21153  df-ba 21154  df-sm 21155  df-0v 21156  df-nmcv 21158  df-hnorm 21550  df-hba 21551  df-hvsub 21553  df-nmop 22421  df-cnop 22422  df-lnop 22423  df-unop 22425
  Copyright terms: Public domain W3C validator