Theorem nmcoplbt 9875

Description: A lower bound for the norm of a continuous linear Hilbert space operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99.

Assertion

Ref	Expression
nmcoplbt	|- ((T e. LinOp /\ T e. ConOp /\ A e. H~) -> (normh` (T` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A)))

Proof of Theorem nmcoplbt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 3708	. . . . . . . 8 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) -> (T` A) = (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))` A))
2	1	fveq2d 3713	. . . . . . 7 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) -> (normh` (T` A)) = (normh` (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))` A)))
3		fveq2 3709	. . . . . . . 8 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) -> (normop` T) = (normop` if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))))
4	3	opreq1d 3960	. . . . . . 7 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) -> ((normop` T) x. (normh` A)) = ((normop` if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))) x. (normh` A)))
5	2, 4	breq12d 2621	. . . . . 6 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) -> ((normh` (T` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A)) <-> (normh` (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))` A)) <_ ((normop` if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))) x. (normh` A))))
6	5	imbi2d 610	. . . . 5 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) -> ((A e. H~ -> (normh` (T` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A))) <-> (A e. H~ -> (normh` (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))` A)) <_ ((normop` if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))) x. (normh` A)))))
7		elin 2197	. . . . . . . . . 10 |- ((I |` H~) e. (LinOp i^i ConOp) <-> ((I |` H~) e. LinOp /\ (I |` H~) e. ConOp))
8		idlnop 9832	. . . . . . . . . 10 |- (I |` H~) e. LinOp
9		idcnop 9821	. . . . . . . . . 10 |- (I |` H~) e. ConOp
10	7, 8, 9	mpbir2an 728	. . . . . . . . 9 |- (I |` H~) e. (LinOp i^i ConOp)
11	10	elimel 2384	. . . . . . . 8 |- if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) e. (LinOp i^i ConOp)
12		elin 2197	. . . . . . . 8 |- (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) e. (LinOp i^i ConOp) <-> (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) e. LinOp /\ if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) e. ConOp))
13	11, 12	mpbi 189	. . . . . . 7 |- (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) e. LinOp /\ if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) e. ConOp)
14	13	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) e. LinOp
15	13	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~)) e. ConOp
16	14, 15	nmcoplb 9873	. . . . 5 |- (A e. H~ -> (normh` (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))` A)) <_ ((normop` if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, (I |` H~))) x. (normh` A)))
17	6, 16	dedth 2373	. . . 4 |- (T e. (LinOp i^i ConOp) -> (A e. H~ -> (normh` (T` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A))))
18	17	imp 350	. . 3 |- ((T e. (LinOp i^i ConOp) /\ A e. H~) -> (normh` (T` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A)))
19		elin 2197	. . 3 |- (T e. (LinOp i^i ConOp) <-> (T e. LinOp /\ T e. ConOp))
20	18, 19	sylanbr 450	. 2 |- (((T e. LinOp /\ T e. ConOp) /\ A e. H~) -> (normh` (T` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A)))
21	20	3impa 826	1 |- ((T e. LinOp /\ T e. ConOp /\ A e. H~) -> (normh` (T` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   i^i cin 2036  ifcif 2351   class class class wbr 2609  Icid 2820   |` cres 3162  ` cfv 3172  (class class class)co 3948   x. cmul 5211   <_ cle 5267  H~chil 8727  normhcno 8733  norm_opcnop 8753  ConOpcco 8754  LinOpclo 8755

This theorem is referenced by:  lnopcon 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-nmop 9682  df-cnop 9683  df-lnop 9684  df-unop 9686

Copyright terms: Public domain