Theorem nmfn0 9911

Description: The norm of the identically zero functional is zero.

Assertion

Ref	Expression
nmfn0	|- (normfn` (H~ X. {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lnfn 9909	. . . 4 |- (H~ X. {0}) e. LinFn
2		lnfnft 9811	. . . 4 |- ((H~ X. {0}) e. LinFn -> (H~ X. {0}):H~-->CC)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- (H~ X. {0}):H~-->CC
4		nmfnvalt 9803	. . 3 |- ((H~ X. {0}):H~-->CC -> (normfn` (H~ X. {0})) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y)))}, RR*, < ))
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- (normfn` (H~ X. {0})) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y)))}, RR*, < )
6		r19.41v 1763	. . . . . 6 |- (E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.y e. H~ (normh` y) <_ 1 /\ x = 0))
7		0re 5440	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
8	7	elisseti 1818	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. V
9	8	fvconst2 3846	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. H~ -> ((H~ X. {0})` y) = 0)
10	9	fveq2d 3728	. . . . . . . . . 10 |- (y e. H~ -> (abs` ((H~ X. {0})` y)) = (abs` 0))
11		abs0 6877	. . . . . . . . . 10 |- (abs` 0) = 0
12	10, 11	syl6eq 1523	. . . . . . . . 9 |- (y e. H~ -> (abs` ((H~ X. {0})` y)) = 0)
13	12	eqeq2d 1486	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (x = (abs` ((H~ X. {0})` y)) <-> x = 0))
14	13	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ x = 0)))
15	14	rexbiia 1674	. . . . . 6 |- (E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y))) <-> E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = 0))
16		ax-hv0cl 8873	. . . . . . . 8 |- 0h e. H~
17		1re 5435	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
18		lt01 5680	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
19	7, 17, 18	ltlei 5581	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
20		fveq2 3724	. . . . . . . . . . 11 |- (y = 0h -> (normh` y) = (normh` 0h))
21		norm0 8995	. . . . . . . . . . 11 |- (normh` 0h) = 0
22	20, 21	syl6eq 1523	. . . . . . . . . 10 |- (y = 0h -> (normh` y) = 0)
23	22	breq1d 2629	. . . . . . . . 9 |- (y = 0h -> ((normh` y) <_ 1 <-> 0 <_ 1))
24	23	rcla4ev 1877	. . . . . . . 8 |- ((0h e. H~ /\ 0 <_ 1) -> E.y e. H~ (normh` y) <_ 1)
25	16, 19, 24	mp2an 697	. . . . . . 7 |- E.y e. H~ (normh` y) <_ 1
26	25	biantrur 725	. . . . . 6 |- (x = 0 <-> (E.y e. H~ (normh` y) <_ 1 /\ x = 0))
27	6, 15, 26	3bitr4 183	. . . . 5 |- (E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y))) <-> x = 0)
28	27	abbii 1575	. . . 4 |- {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y)))} = {x | x = 0}
29		df-sn 2412	. . . 4 |- {0} = {x | x = 0}
30	28, 29	eqtr4 1498	. . 3 |- {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y)))} = {0}
31		supeq1 4575	. . 3 |- ({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y)))} = {0} -> sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
32	30, 31	ax-mp 7	. 2 |- sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` ((H~ X. {0})` y)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < )
33		rexrt 5499	. . . 4 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
34	7, 33	ax-mp 7	. . 3 |- 0 e. RR*
35		xrltso 5554	. . . 4 |- < Or RR*
36	35	supsn 4591	. . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
37	34, 36	ax-mp 7	. 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
38	5, 32, 37	3eqtr 1499	1 |- (normfn` (H~ X. {0})) = 0

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  {csn 2409   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  -->wf 3178  ` cfv 3182  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   <_ cle 5295  RR*cxr 5485   < clt 5486  abscabs 6750  H~chil 8788  0hc0v 8791  normhcno 8794  norm_fncnmf 8820  LinFnclf 8823

This theorem is referenced by:  nmbdfnlbt 9979  branmfnt 10038

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-hnorm 8837  df-nmfn 9771  df-lnfn 9774

Copyright terms: Public domain