Theorem nmfnvalt 9760

Description: Value of the norm of a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
nmfnvalt	|- (T:H~-->CC -> (normfn` T) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem nmfnvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 5537	. . 3 |- < Or RR*
2	1	supex 4560	. 2 |- sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ) e. V
3		ax-hilex 8824	. 2 |- H~ e. V
4		axcnex 5250	. 2 |- CC e. V
5		fveq1 3718	. . . . . . . 8 |- (t = T -> (t` y) = (T` y))
6	5	fveq2d 3723	. . . . . . 7 |- (t = T -> (abs` (t` y)) = (abs` (T` y)))
7	6	eqeq2d 1484	. . . . . 6 |- (t = T -> (x = (abs` (t` y)) <-> x = (abs` (T` y))))
8	7	anbi2d 615	. . . . 5 |- (t = T -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))))
9	8	rexbidv 1662	. . . 4 |- (t = T -> (E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y))) <-> E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))))
10	9	abbidv 1575	. . 3 |- (t = T -> {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))} = {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))})
11		supeq1 4558	. . 3 |- ({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))} = {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))} -> sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))
12	10, 11	syl 10	. 2 |- (t = T -> sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))
13		df-nmfn 9728	. 2 |- normfn = {<.t, z>. | (t:H~-->CC /\ z = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ))}
14	2, 3, 4, 12, 13	fvopabf4 4333	1 |- (T:H~-->CC -> (normfn` T) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955  {cab 1462  E.wrex 1644   class class class wbr 2615  -->wf 3174  ` cfv 3178  supcsup 4556  CCcc 5215  1c1 5218   <_ cle 5278  RR*cxr 5468   < clt 5469  abscabs 6696  H~chil 8743  normhcno 8749  norm_fncnmf 8775

This theorem is referenced by:  nmfnxrt 9763  nmfnrepnf 9764  nmfnlbt 9805  nmfnleubt 9806  nmfn0 9868  nmcfnexlem1 9936  branmfnt 9994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hilex 8824

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-ltp 5073  df-enr 5149  df-nr 5150  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-c 5223  df-r 5227  df-lt 5230  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-nmfn 9728

Copyright terms: Public domain