MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmhmco Unicode version

Theorem nmhmco 18367
Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nmhmco  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U ) )

Proof of Theorem nmhmco
StepHypRef Expression
1 nmhmrcl2 18359 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  U  e. NrmMod )
2 nmhmrcl1 18358 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  S  e. NrmMod )
31, 2anim12ci 550 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( S  e. NrmMod  /\  U  e. NrmMod )
)
4 nmhmlmhm 18360 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  F  e.  ( T LMHom  U ) )
5 nmhmlmhm 18360 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
6 lmhmco 15899 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T LMHom 
U )  /\  G  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U ) )
74, 5, 6syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U ) )
8 nmhmnghm 18361 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  F  e.  ( T NGHom  U ) )
9 nmhmnghm 18361 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
10 nghmco 18349 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
118, 9, 10syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
127, 11jca 518 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U )  /\  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) ) )
13 isnmhm 18357 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U
)  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  U  e. NrmMod )  /\  ( ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U )  /\  ( F  o.  G
)  e.  ( S NGHom 
U ) ) ) )
143, 12, 13sylanbrc 645 1  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710    o. ccom 4775  (class class class)co 5945   LMHom clmhm 15875  NrmModcnlm 18205   NGHom cnghm 18317   NMHom cnmhm 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ico 10754  df-topgen 13443  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-grp 14588  df-ghm 14780  df-lmod 15728  df-lmhm 15878  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-xms 17987  df-ms 17988  df-nm 18207  df-ngp 18208  df-nmo 18319  df-nghm 18320  df-nmhm 18321
  Copyright terms: Public domain W3C validator