MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmhmplusg Unicode version

Theorem nmhmplusg 18318
Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmhmplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nmhmplusg  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NMHom  T
) )

Proof of Theorem nmhmplusg
StepHypRef Expression
1 nmhmrcl1 18308 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  ->  S  e. NrmMod )
2 nmhmrcl2 18309 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  T  e. NrmMod )
31, 2anim12i 549 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod )
)
4 nmhmlmhm 18310 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
5 nmhmlmhm 18310 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
6 nmhmplusg.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  T )
76lmhmplusg 15850 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S LMHom  T
) )
84, 5, 7syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S LMHom  T
) )
9 nlmlmod 18241 . . . . . 6  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
10 lmodabl 15721 . . . . . 6  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. 
Abel )
112, 9, 103syl 18 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  T  e.  Abel )
1211adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  T  e.  Abel )
13 nmhmnghm 18311 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
1413adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
15 nmhmnghm 18311 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
176nghmplusg 18301 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )
1812, 14, 16, 17syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NGHom  T
) )
198, 18jca 518 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( ( F  o F  .+  G
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( F  o F  .+  G
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) )
20 isnmhm 18307 . 2  |-  ( ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  /\  ( ( F  o F  .+  G
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( F  o F  .+  G
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
213, 19, 20sylanbrc 645 1  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NMHom  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    o Fcof 6118   +g cplusg 13255   Abelcabel 15139   LModclmod 15676   LMHom clmhm 15825  NrmModcnlm 18155   NGHom cnghm 18267   NMHom cnmhm 18268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ico 10709  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-topgen 13393  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-ghm 14730  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-lmod 15678  df-lmhm 15828  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-xms 17937  df-ms 17938  df-nm 18157  df-ngp 18158  df-nlm 18161  df-nmo 18269  df-nghm 18270  df-nmhm 18271
  Copyright terms: Public domain W3C validator