HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 11741
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3 |- N = (UnormOpW)
nmo0.0 |- Z = (U 0op W)
Assertion
Ref Expression
nmo0 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 1961 . . . . 5 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
2 eqid 1961 . . . . 5 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
3 nmo0.0 . . . . 5 |- Z = (U 0op W)
41, 2, 30oo 11739 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W))
5 eqid 1961 . . . . 5 |- (norm` U) = (norm` U)
6 eqid 1961 . . . . 5 |- (norm` W) = (norm` W)
7 nmo0.3 . . . . 5 |- N = (UnormOpW)
81, 2, 5, 6, 7nmoval 11713 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W)) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
94, 8mpd3an3 1283 . . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
10 df-sn 3102 . . . . 5 |- {0} = {x | x = 0}
11 eqid 1961 . . . . . . . . . . 11 |- (0vec` U) = (0vec` U)
121, 11nvzcl 11561 . . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> (0vec` U) e. (BaseSet` U))
1311, 5nvz0 11603 . . . . . . . . . . 11 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0vec` U)) = 0)
14 0re 7106 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
15 1re 7105 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
16 lt01 7441 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
1714, 15, 16ltleii 7171 . . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
1813, 17syl6eqbr 3416 . . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1)
19 fveq2 4685 . . . . . . . . . . . 12 |- (z = (0vec`
U) -> ((norm` U)` z) = ((norm` U)` (0vec` U)))
2019breq1d 3389 . . . . . . . . . . 11 |- (z = (0vec`
U) -> (((norm`
U)` z) <_ 1 <-> ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1))
2120rcla4ev 2452 . . . . . . . . . 10 |- (((0vec` U) e. (BaseSet` U) /\ ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1) -> E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1)
2212, 18, 21syl2anc 668 . . . . . . . . 9 |- (U e. NrmCVec -> E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1)
2322biantrurd 517 . . . . . . . 8 |- (U e. NrmCVec -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
2423adantr 474 . . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
25 eqid 1961 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0vec` W) = (0vec` W)
261, 25, 30oval 11738 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0vec` W))
27263expa 1157 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0vec` W))
2827fveq2d 4689 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = ((norm` W)` (0vec` W)))
2925, 6nvz0 11603 . . . . . . . . . . . . 13 |- (W e. NrmCVec -> ((norm` W)` (0vec` W)) = 0)
3029ad2antlr 737 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (0vec` W)) = 0)
3128, 30eqtrd 1993 . . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = 0)
3231eqeq2d 1972 . . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (x = ((norm`
W)` (Z` z)) <-> x = 0))
3332anbi2d 711 . . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> (((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
3433rexbidva 2185 . . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
35 r19.41v 2306 . . . . . . . 8 |- (E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0))
3634, 35syl6rbb 272 . . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> ((E.z e. (BaseSet` U)((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
3724, 36bitrd 263 . . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
3837abbidv 2070 . . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | x = 0} = {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))})
3910, 38syl5req 2006 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0})
4039supeq1d 5999 . . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
419, 40eqtrd 1993 . 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({0}, RR*, < ))
42 0xr 7121 . . 3 |- 0 e. RR*
43 xrltso 8174 . . . 4 |- < Or RR*
4443supsn 6020 . . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
4542, 44ax-mp 8 . 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
4641, 45syl6eq 2009 1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 382   = wceq 1457   e. wcel 1459  {cab 1948  E.wrex 2171  {csn 3098   class class class wbr 3379  -->wf 4016  ` cfv 4020  (class class class)co 4935  supcsup 5993  0cc0 6999  1c1 7000   <_ cle 7107  RR*cxr 7110   < clt 7111  NrmCVeccnv 11509  BaseSetcba 11511  0veccn0v 11513  normcnm 11515  normOpcnmo 11691   0op c0o 11693
This theorem is referenced by:  0blo 11742  nmlno0lem 11743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1672  ax-ext 1943  ax-rep 3465  ax-sep 3475  ax-nul 3484  ax-pow 3520  ax-pr 3544  ax-un 3814  ax-inf2 6072  ax-resscn 7053  ax-1cn 7054  ax-icn 7055  ax-addcl 7056  ax-addrcl 7057  ax-mulcl 7058  ax-mulrcl 7059  ax-mulcom 7060  ax-addass 7061  ax-mulass 7062  ax-distr 7063  ax-i2m1 7064  ax-1ne0 7065  ax-1rid 7066  ax-rnegex 7067  ax-rrecex 7068  ax-cnre 7069  ax-pre-lttri 7070  ax-pre-lttrn 7071  ax-pre-ltadd 7072  ax-pre-mulgt0 7073  ax-pre-sup 7074
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1634  df-eu 1861  df-mo 1862  df-clab 1949  df-cleq 1954  df-clel 1957  df-ne 2081  df-nel 2082  df-ral 2174  df-rex 2175  df-reu 2176  df-rab 2177  df-v 2368  df-sbc 2533  df-csb 2607  df-dif 2666  df-un 2668  df-in 2670  df-ss 2672  df-pss 2674  df-nul 2928  df-if 3029  df-pw 3087  df-sn 3102  df-pr 3103  df-tp 3105  df-op 3106  df-uni 3235  df-iun 3307  df-br 3380  df-opab 3434  df-tr 3449  df-eprel 3627  df-id 3630  df-po 3635  df-so 3649  df-fr 3668  df-we 3684  df-ord 3700  df-on 3701  df-lim 3702  df-suc 3703  df-om 3975  df-xp 4022  df-rel 4023  df-cnv 4024  df-co 4025  df-dm 4026  df-rn 4027  df-res 4028  df-ima 4029  df-fun 4030  df-fn 4031  df-f 4032  df-f1 4033  df-fo 4034  df-f1o 4035  df-fv 4036  df-ov 4937  df-oprab 4938  df-mpt 5072  df-mpt2 5073  df-1st 5169  df-2nd 5170  df-iota 5273  df-rdg 5359  df-er 5533  df-map 5621  df-en 5678  df-dom 5679  df-sdom 5680  df-riota 5821  df-sup 5994  df-pnf 7112  df-mnf 7113  df-xr 7114  df-ltxr 7115  df-le 7116  df-sub 7240  df-neg 7242  df-div 7466  df-n 7704  df-2 7750  df-3 7751  df-n0 7874  df-z 7918  df-uz 8038  df-q 8120  df-rp 8243  df-seq 8569  df-exp 8621  df-cj 8857  df-re 8858  df-im 8859  df-sqr 8950  df-abs 8951  df-grpo 10436  df-gid 10437  df-ginv 10438  df-ablo 10531  df-vc 11471  df-nv 11517  df-va 11520  df-ba 11521  df-sm 11522  df-0v 11523  df-nm 11525  df-nmo 11695  df-0o 11697
Copyright terms: Public domain