HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 11700
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3 |- N = (UnormOpW)
nmo0.0 |- Z = (U 0op W)
Assertion
Ref Expression
nmo0 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 1960 . . . . 5 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
2 eqid 1960 . . . . 5 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
3 nmo0.0 . . . . 5 |- Z = (U 0op W)
41, 2, 30oo 11698 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W))
5 eqid 1960 . . . . 5 |- (norm` U) = (norm` U)
6 eqid 1960 . . . . 5 |- (norm` W) = (norm` W)
7 nmo0.3 . . . . 5 |- N = (UnormOpW)
81, 2, 5, 6, 7nmoval 11672 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W)) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
94, 8mpd3an3 1283 . . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
10 df-sn 3099 . . . . 5 |- {0} = {x | x = 0}
11 eqid 1960 . . . . . . . . . . 11 |- (0vec` U) = (0vec` U)
121, 11nvzcl 11519 . . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> (0vec` U) e. (BaseSet` U))
1311, 5nvz0 11561 . . . . . . . . . . 11 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0vec` U)) = 0)
14 0re 7069 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
15 1re 7068 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
16 lt01 7404 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
1714, 15, 16ltleii 7134 . . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
1813, 17syl6eqbr 3413 . . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1)
19 fveq2 4676 . . . . . . . . . . . 12 |- (z = (0vec`
U) -> ((norm` U)` z) = ((norm` U)` (0vec` U)))
2019breq1d 3386 . . . . . . . . . . 11 |- (z = (0vec`
U) -> (((norm`
U)` z) <_ 1 <-> ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1))
2120rcla4ev 2451 . . . . . . . . . 10 |- (((0vec` U) e. (BaseSet` U) /\ ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1) -> E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1)
2212, 18, 21syl2anc 668 . . . . . . . . 9 |- (U e. NrmCVec -> E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1)
2322biantrurd 517 . . . . . . . 8 |- (U e. NrmCVec -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
2423adantr 474 . . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
25 eqid 1960 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0vec` W) = (0vec` W)
261, 25, 30oval 11697 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0vec` W))
27263expa 1157 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0vec` W))
2827fveq2d 4680 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = ((norm` W)` (0vec` W)))
2925, 6nvz0 11561 . . . . . . . . . . . . 13 |- (W e. NrmCVec -> ((norm` W)` (0vec` W)) = 0)
3029ad2antlr 737 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (0vec` W)) = 0)
3128, 30eqtrd 1992 . . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = 0)
3231eqeq2d 1971 . . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (x = ((norm`
W)` (Z` z)) <-> x = 0))
3332anbi2d 711 . . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> (((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
3433rexbidva 2184 . . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
35 r19.41v 2305 . . . . . . . 8 |- (E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0))
3634, 35syl6rbb 272 . . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> ((E.z e. (BaseSet` U)((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
3724, 36bitrd 263 . . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
3837abbidv 2069 . . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | x = 0} = {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))})
3910, 38syl5req 2005 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0})
4039supeq1d 5962 . . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
419, 40eqtrd 1992 . 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({0}, RR*, < ))
42 0xr 7084 . . 3 |- 0 e. RR*
43 xrltso 8133 . . . 4 |- < Or RR*
4443supsn 5983 . . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
4542, 44ax-mp 8 . 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
4641, 45syl6eq 2008 1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 382   = wceq 1457   e. wcel 1459  {cab 1947  E.wrex 2170  {csn 3095   class class class wbr 3376  -->wf 4008  ` cfv 4012  (class class class)co 4926  supcsup 5956  0cc0 6962  1c1 6963   <_ cle 7070  RR*cxr 7073   < clt 7074  NrmCVeccnv 11467  BaseSetcba 11469  0veccn0v 11471  normcnm 11473  normOpcnmo 11650   0op c0o 11652
This theorem is referenced by:  0blo 11701  nmlno0lem 11702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-ext 1942  ax-rep 3462  ax-sep 3472  ax-nul 3481  ax-pow 3517  ax-pr 3541  ax-un 3811  ax-inf2 6035  ax-resscn 7016  ax-1cn 7017  ax-icn 7018  ax-addcl 7019  ax-addrcl 7020  ax-mulcl 7021  ax-mulrcl 7022  ax-mulcom 7023  ax-addass 7024  ax-mulass 7025  ax-distr 7026  ax-i2m1 7027  ax-1ne0 7028  ax-1rid 7029  ax-rnegex 7030  ax-rrecex 7031  ax-cnre 7032  ax-pre-lttri 7033  ax-pre-lttrn 7034  ax-pre-ltadd 7035  ax-pre-mulgt0 7036  ax-pre-sup 7037
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-nel 2081  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-if 3028  df-pw 3084  df-sn 3099  df-pr 3100  df-tp 3102  df-op 3103  df-uni 3232  df-iun 3304  df-br 3377  df-opab 3431  df-tr 3446  df-eprel 3624  df-id 3627  df-po 3632  df-so 3646  df-fr 3665  df-we 3681  df-ord 3697  df-on 3698  df-lim 3699  df-suc 3700  df-om 3967  df-xp 4014  df-rel 4015  df-cnv 4016  df-co 4017  df-dm 4018  df-rn 4019  df-res 4020  df-ima 4021  df-fun 4022  df-fn 4023  df-f 4024  df-f1 4025  df-fo 4026  df-f1o 4027  df-fv 4028  df-ov 4928  df-oprab 4929  df-mpt 5063  df-mpt2 5064  df-1st 5132  df-2nd 5133  df-iota 5236  df-rdg 5322  df-er 5496  df-map 5584  df-en 5641  df-dom 5642  df-sdom 5643  df-riota 5784  df-sup 5957  df-pnf 7075  df-mnf 7076  df-xr 7077  df-ltxr 7078  df-le 7079  df-sub 7203  df-neg 7205  df-div 7429  df-n 7663  df-2 7709  df-3 7710  df-n0 7833  df-z 7877  df-uz 7997  df-q 8079  df-rp 8201  df-seq 8526  df-exp 8578  df-cj 8814  df-re 8815  df-im 8816  df-sqr 8905  df-abs 8906  df-grpo 10405  df-gid 10406  df-ginv 10407  df-ablo 10500  df-vc 11429  df-nv 11475  df-va 11478  df-ba 11479  df-sm 11480  df-0v 11481  df-nm 11483  df-nmo 11654  df-0o 11656
Copyright terms: Public domain