HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 13389
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3
nmo0.0
Assertion
Ref Expression
nmo0

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 1918 . . . . 5
2 eqid 1918 . . . . 5
3 nmo0.0 . . . . 5
41, 2, 30oo 13387 . . . 4
5 eqid 1918 . . . . 5
6 eqid 1918 . . . . 5
7 nmo0.3 . . . . 5
81, 2, 5, 6, 7nmoval 13361 . . . 4
94, 8mpd3an3 1238 . . 3
10 df-sn 3092 . . . . 5
11 eqid 1918 . . . . . . . . . . 11
121, 11nvzcl 13209 . . . . . . . . . 10
1311, 5nvz0 13251 . . . . . . . . . . 11
14 0re 7365 . . . . . . . . . . . 12
15 1re 7364 . . . . . . . . . . . 12
16 0lt1 7708 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16ltleii 7434 . . . . . . . . . . 11
1813, 17syl6eqbr 3433 . . . . . . . . . 10
19 fveq2 4761 . . . . . . . . . . . 12
2019breq1d 3406 . . . . . . . . . . 11
2120rcla4ev 2413 . . . . . . . . . 10
2212, 18, 21syl2anc 637 . . . . . . . . 9
2322biantrurd 489 . . . . . . . 8
2423adantr 444 . . . . . . 7
25 eqid 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15
261, 25, 30oval 13386 . . . . . . . . . . . . . 14
27263expa 1112 . . . . . . . . . . . . 13
2827fveq2d 4765 . . . . . . . . . . . 12
2925, 6nvz0 13251 . . . . . . . . . . . . 13
3029ad2antlr 702 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30eqtrd 1950 . . . . . . . . . . 11
3231eqeq2d 1929 . . . . . . . . . 10
3332anbi2d 678 . . . . . . . . 9
3433rexbidva 2142 . . . . . . . 8
35 r19.41v 2264 . . . . . . . 8
3634, 35syl6rbb 251 . . . . . . 7
3724, 36bitrd 242 . . . . . 6
3837abbidv 2026 . . . . 5
3910, 38syl5req 1963 . . . 4
4039supeq1d 6206 . . 3
419, 40eqtrd 1950 . 2
42 0xr 7380 . . 3
43 xrltso 8551 . . . 4
4443supsn 6230 . . 3
4542, 44ax-mp 8 . 2
4641, 45syl6eq 1966 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wa 357   wceq 1414   wcel 1416  cab 1905  wrex 2128  csn 3086   class class class wbr 3396  wf 4042  cfv 4046  (class class class)co 5032  csup 6200  cc0 7257  c1 7258   cle 7366  cxr 7369   clt 7370  cnv 13157  cba 13159  cn0v 13161  cnm 13163  cnmo 13339   c0o 13341
This theorem is referenced by:  0blo 13390  nmlno0lem 13391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-rep 3481  ax-sep 3491  ax-nul 3500  ax-pow 3536  ax-pr 3560  ax-un 3836  ax-inf2 6289  ax-resscn 7311  ax-1cn 7312  ax-icn 7313  ax-addcl 7314  ax-addrcl 7315  ax-mulcl 7316  ax-mulrcl 7317  ax-mulcom 7318  ax-addass 7319  ax-mulass 7320  ax-distr 7321  ax-i2m1 7322  ax-1ne0 7323  ax-1rid 7324  ax-rnegex 7325  ax-rrecex 7326  ax-cnre 7327  ax-pre-lttri 7328  ax-pre-lttrn 7329  ax-pre-ltadd 7330  ax-pre-mulgt0 7331  ax-pre-sup 7332
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-nel 2038  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2329  df-sbc 2496  df-csb 2578  df-dif 2640  df-un 2642  df-in 2644  df-ss 2648  df-pss 2650  df-nul 2908  df-if 3015  df-pw 3075  df-sn 3092  df-pr 3093  df-tp 3094  df-op 3095  df-uni 3247  df-iun 3320  df-br 3397  df-opab 3450  df-tr 3465  df-eprel 3646  df-id 3650  df-po 3655  df-so 3669  df-fr 3689  df-we 3705  df-ord 3721  df-on 3722  df-lim 3723  df-suc 3724  df-om 4001  df-xp 4048  df-rel 4049  df-cnv 4050  df-co 4051  df-dm 4052  df-rn 4053  df-res 4054  df-ima 4055  df-fun 4056  df-fn 4057  df-f 4058  df-f1 4059  df-fo 4060  df-f1o 4061  df-fv 4062  df-ov 5034  df-oprab 5035  df-mpt 5196  df-mpt2 5197  df-1st 5333  df-2nd 5334  df-iota 5444  df-rdg 5535  df-er 5710  df-map 5802  df-en 5869  df-dom 5870  df-sdom 5871  df-riota 6022  df-sup 6201  df-pnf 7371  df-mnf 7372  df-xr 7373  df-ltxr 7374  df-le 7375  df-sub 7506  df-neg 7508  df-div 7734  df-n 7974  df-2 8020  df-3 8021  df-n0 8166  df-z 8217  df-uz 8411  df-q 8497  df-rp 8625  df-seq 8959  df-exp 9013  df-cj 9265  df-re 9266  df-im 9267  df-sqr 9361  df-abs 9362  df-grpo 11772  df-gid 11773  df-ginv 11774  df-ablo 11863  df-vc 13119  df-nv 13165  df-va 13168  df-ba 13169  df-sm 13170  df-0v 13171  df-nm 13173  df-nmo 13343  df-0o 13345
Copyright terms: Public domain