HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 15969
Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmo0.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmo0.3  |-  Z  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmo0  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  { Z } ) )  =  0 )

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 nmo0.1 . . 3  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmo0.2 . . 3  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2082 . . 3  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2082 . . 3  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
5 eqid 2082 . . 3  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 simpl 437 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  S  e. NrmGrp )
7 simpr 441 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  T  e. NrmGrp )
8 ngpgrp 15846 . . . 4  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
9 ngpgrp 15846 . . . 4  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
10 nmo0.3 . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  T
)
1110, 20ghm 12606 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( V  X.  { Z } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
128, 9, 11syl2an 457 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( V  X.  { Z } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 0re 8249 . . . 4  |-  0  e.  RR
1413a1i 10 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  e.  RR )
1513leidi 8525 . . . 4  |-  0  <_  0
1615a1i 10 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  <_  0 )
17 fvex 5056 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
1810, 17eqeltri 2151 . . . . . . . 8  |-  Z  e. 
_V
1918fvconst2 5252 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  ->  (
( V  X.  { Z } ) `  x
)  =  Z )
2019ad2antrl 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( V  X.  { Z } ) `  x )  =  Z )
2120fveq2d 5046 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  { Z }
) `  x )
)  =  ( (
norm `  T ) `  Z ) )
224, 10nm0 15873 . . . . . 6  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( ( norm `  T ) `  Z
)  =  0 )
2322ad2antlr 702 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  Z )  =  0 )
2421, 23eqtrd 2114 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  { Z }
) `  x )
)  =  0 )
252, 3nmcl 15862 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
2625ad2ant2r 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  RR )
2726recnd 8229 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  CC )
28 mul02 8356 . . . . . 6  |-  ( ( ( norm `  S
) `  x )  e.  CC  ->  ( 0  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) )  =  0 )
2927, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( 0  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  =  0 )
3015, 29syl5breqr 3636 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
0  <_  ( 0  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) )
3124, 30eqbrtrd 3620 . . 3  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  { Z }
) `  x )
)  <_  ( 0  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 16, 31nmolb2d 15952 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  { Z } ) )  <_ 
0 )
331nmoge0 15955 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( V  X.  { Z } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  ( V  X.  { Z } ) ) )
3412, 33mpd3an3 1245 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  <_  ( N `  ( V  X.  { Z }
) ) )
351nmocl 15954 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( V  X.  { Z } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  ( V  X.  { Z } ) )  e. 
RR* )
3612, 35mpd3an3 1245 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  { Z } ) )  e. 
RR* )
37 0xr 8264 . . 3  |-  0  e.  RR*
38 xrletri3 9492 . . 3  |-  ( ( ( N `  ( V  X.  { Z }
) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( N `  ( V  X.  { Z } ) )  =  0  <->  ( ( N `
 ( V  X.  { Z } ) )  <_  0  /\  0  <_  ( N `  ( V  X.  { Z }
) ) ) ) )
3936, 37, 38sylancl 639 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( ( N `  ( V  X.  { Z } ) )  =  0  <->  (
( N `  ( V  X.  { Z }
) )  <_  0  /\  0  <_  ( N `
 ( V  X.  { Z } ) ) ) ) )
4032, 34, 39mpbir2and 852 1  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  { Z } ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 174    /\ wa 357    = wceq 1536    e. wcel 1538    =/= wne 2199   _Vcvv 2492   {csn 3272   class class class wbr 3600    X. cxp 4273   ` cfv 4287  (class class class)co 5354   CCcc 8135   RRcr 8136   0cc0 8137    x. cmul 8142    <_ cle 8250   RR*cxr 8253   Basecbs 11602   0gc0g 11828   Grpcgrp 12197    GrpHom cghm 12589   normcnm 15824  NrmGrpcngp 15825   normOpcnmo 15939
This theorem is referenced by:  nmoeq0  15970  0nghm  15975  idnghm  15977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1451  ax-6 1452  ax-7 1453  ax-gen 1454  ax-8 1540  ax-11 1541  ax-13 1542  ax-14 1543  ax-17 1545  ax-12o 1578  ax-10 1592  ax-9 1598  ax-4 1606  ax-16 1793  ax-ext 2064  ax-rep 3705  ax-sep 3715  ax-nul 3723  ax-pow 3759  ax-pr 3783  ax-un 4075  ax-cnex 8192  ax-resscn 8193  ax-1cn 8194  ax-icn 8195  ax-addcl 8196  ax-addrcl 8197  ax-mulcl 8198  ax-mulrcl 8199  ax-mulcom 8200  ax-addass 8201  ax-mulass 8202  ax-distr 8203  ax-i2m1 8204  ax-1ne0 8205  ax-1rid 8206  ax-rnegex 8207  ax-rrecex 8208  ax-cnre 8209  ax-pre-lttri 8210  ax-pre-lttrn 8211  ax-pre-ltadd 8212  ax-pre-mulgt0 8213  ax-pre-sup 8214
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 904  df-3an 905  df-tru 1268  df-ex 1456  df-sb 1754  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2070  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-ne 2201  df-nel 2202  df-ral 2295  df-rex 2296  df-reu 2297  df-rab 2298  df-v 2494  df-sbc 2668  df-csb 2750  df-dif 2813  df-un 2815  df-in 2817  df-ss 2821  df-pss 2823  df-nul 3089  df-if 3199  df-pw 3260  df-sn 3278  df-pr 3279  df-tp 3280  df-op 3281  df-uni 3439  df-iun 3516  df-br 3601  df-opab 3655  df-mpt 3656  df-tr 3688  df-eprel 3870  df-id 3874  df-po 3879  df-so 3880  df-fr 3917  df-we 3919  df-ord 3960  df-on 3961  df-lim 3962  df-suc 3963  df-om 4243  df-xp 4289  df-rel 4290  df-cnv 4291  df-co 4292  df-dm 4293  df-rn 4294  df-res 4295  df-ima 4296  df-fun 4297  df-fn 4298  df-f 4299  df-f1 4300  df-fo 4301  df-f1o 4302  df-fv 4303  df-ov 5357  df-oprab 5358  df-mpt2 5359  df-1st 5608  df-2nd 5609  df-iota 5762  df-recs 5835  df-rdg 5870  df-er 6102  df-map 6207  df-en 6289  df-dom 6290  df-sdom 6291  df-riota 6455  df-sup 6656  df-pnf 8255  df-mnf 8256  df-xr 8257  df-ltxr 8258  df-le 8259  df-sub 8392  df-neg 8393  df-div 8621  df-n 8863  df-2 8910  df-n0 9056  df-z 9108  df-uz 9305  df-q 9390  df-rp 9427  df-xneg 9461  df-xadd 9462  df-xmul 9463  df-ico 9664  df-topgen 11776  df-0g 11832  df-mnd 12202  df-mhm 12250  df-grp 12401  df-ghm 12590  df-xmet 14048  df-met 14049  df-bl 14050  df-mopn 14051  df-top 14379  df-bases 14381  df-topon 14382  df-topsp 14383  df-xms 15609  df-ms 15610  df-nm 15830  df-ngp 15831  df-nmo 15942
Copyright terms: Public domain