HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 11926
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3
nmo0.0
Assertion
Ref Expression
nmo0

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 1929 . . . . 5
2 eqid 1929 . . . . 5
3 nmo0.0 . . . . 5
41, 2, 30oo 11924 . . . 4
5 eqid 1929 . . . . 5
6 eqid 1929 . . . . 5
7 nmo0.3 . . . . 5
81, 2, 5, 6, 7nmoval 11898 . . . 4
94, 8mpd3an3 1249 . . 3
10 df-sn 3080 . . . . 5
11 eqid 1929 . . . . . . . . . . 11
121, 11nvzcl 11746 . . . . . . . . . 10
1311, 5nvz0 11788 . . . . . . . . . . 11
14 0re 7113 . . . . . . . . . . . 12
15 1re 7112 . . . . . . . . . . . 12
16 lt01 7449 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16ltleii 7178 . . . . . . . . . . 11
1813, 17syl6eqbr 3395 . . . . . . . . . 10
19 fveq2 4672 . . . . . . . . . . . 12
2019breq1d 3368 . . . . . . . . . . 11
2120rcla4ev 2421 . . . . . . . . . 10
2212, 18, 21syl2anc 641 . . . . . . . . 9
2322biantrurd 493 . . . . . . . 8
2423adantr 448 . . . . . . 7
25 eqid 1929 . . . . . . . . . . . . . . 15
261, 25, 30oval 11923 . . . . . . . . . . . . . 14
27263expa 1123 . . . . . . . . . . . . 13
2827fveq2d 4676 . . . . . . . . . . . 12
2925, 6nvz0 11788 . . . . . . . . . . . . 13
3029ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30eqtrd 1961 . . . . . . . . . . 11
3231eqeq2d 1940 . . . . . . . . . 10
3332anbi2d 684 . . . . . . . . 9
3433rexbidva 2153 . . . . . . . 8
35 r19.41v 2275 . . . . . . . 8
3634, 35syl6rbb 252 . . . . . . 7
3724, 36bitrd 243 . . . . . 6
3837abbidv 2038 . . . . 5
3910, 38syl5req 1974 . . . 4
4039supeq1d 6004 . . 3
419, 40eqtrd 1961 . 2
42 0xr 7128 . . 3
43 xrltso 8183 . . . 4
4443supsn 6026 . . 3
4542, 44ax-mp 8 . 2
4641, 45syl6eq 1977 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wa 360   wceq 1425   wcel 1427  cab 1916  wrex 2139  csn 3074   class class class wbr 3358  wf 3999  cfv 4003  (class class class)co 4924  csup 5998  cc0 7006  c1 7007   cle 7114  cxr 7117   clt 7118  cnv 11694  cba 11696  cn0v 11698  cnm 11700  cnmo 11876   c0o 11878
This theorem is referenced by:  0blo 11927  nmlno0lem 11928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1342  ax-6 1343  ax-7 1344  ax-gen 1345  ax-8 1429  ax-10 1430  ax-11 1431  ax-12 1432  ax-13 1433  ax-14 1434  ax-17 1441  ax-9 1456  ax-4 1462  ax-16 1640  ax-ext 1911  ax-rep 3444  ax-sep 3454  ax-nul 3463  ax-pow 3499  ax-pr 3523  ax-un 3795  ax-inf2 6078  ax-resscn 7060  ax-1cn 7061  ax-icn 7062  ax-addcl 7063  ax-addrcl 7064  ax-mulcl 7065  ax-mulrcl 7066  ax-mulcom 7067  ax-addass 7068  ax-mulass 7069  ax-distr 7070  ax-i2m1 7071  ax-1ne0 7072  ax-1rid 7073  ax-rnegex 7074  ax-rrecex 7075  ax-cnre 7076  ax-pre-lttri 7077  ax-pre-lttrn 7078  ax-pre-ltadd 7079  ax-pre-mulgt0 7080  ax-pre-sup 7081
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 361  df-an 362  df-3or 913  df-3an 914  df-tru 1320  df-ex 1347  df-sb 1602  df-eu 1829  df-mo 1830  df-clab 1917  df-cleq 1922  df-clel 1925  df-ne 2049  df-nel 2050  df-ral 2142  df-rex 2143  df-reu 2144  df-rab 2145  df-v 2337  df-sbc 2502  df-csb 2577  df-dif 2637  df-un 2639  df-in 2641  df-ss 2643  df-pss 2645  df-nul 2900  df-if 3005  df-pw 3063  df-sn 3080  df-pr 3081  df-tp 3082  df-op 3083  df-uni 3214  df-iun 3286  df-br 3359  df-opab 3413  df-tr 3428  df-eprel 3608  df-id 3611  df-po 3616  df-so 3630  df-fr 3649  df-we 3665  df-ord 3681  df-on 3682  df-lim 3683  df-suc 3684  df-om 3958  df-xp 4005  df-rel 4006  df-cnv 4007  df-co 4008  df-dm 4009  df-rn 4010  df-res 4011  df-ima 4012  df-fun 4013  df-fn 4014  df-f 4015  df-f1 4016  df-fo 4017  df-f1o 4018  df-fv 4019  df-ov 4926  df-oprab 4927  df-mpt 5063  df-mpt2 5064  df-1st 5173  df-2nd 5174  df-iota 5277  df-rdg 5363  df-er 5537  df-map 5625  df-en 5682  df-dom 5683  df-sdom 5684  df-riota 5825  df-sup 5999  df-pnf 7119  df-mnf 7120  df-xr 7121  df-ltxr 7122  df-le 7123  df-sub 7248  df-neg 7250  df-div 7474  df-n 7713  df-2 7759  df-3 7760  df-n0 7883  df-z 7927  df-uz 8047  df-q 8129  df-rp 8254  df-seq 8585  df-exp 8637  df-cj 8871  df-re 8872  df-im 8873  df-sqr 8965  df-abs 8966  df-grpo 10611  df-gid 10612  df-ginv 10613  df-ablo 10706  df-vc 11656  df-nv 11702  df-va 11705  df-ba 11706  df-sm 11707  df-0v 11708  df-nm 11710  df-nmo 11880  df-0o 11882
Copyright terms: Public domain