HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 12698
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3
nmo0.0
Assertion
Ref Expression
nmo0

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 1918 . . . . 5
2 eqid 1918 . . . . 5
3 nmo0.0 . . . . 5
41, 2, 30oo 12696 . . . 4
5 eqid 1918 . . . . 5
6 eqid 1918 . . . . 5
7 nmo0.3 . . . . 5
81, 2, 5, 6, 7nmoval 12670 . . . 4
94, 8mpd3an3 1238 . . 3
10 df-sn 3085 . . . . 5
11 eqid 1918 . . . . . . . . . . 11
121, 11nvzcl 12518 . . . . . . . . . 10
1311, 5nvz0 12560 . . . . . . . . . . 11
14 0re 7277 . . . . . . . . . . . 12
15 1re 7276 . . . . . . . . . . . 12
16 lt01 7613 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16ltleii 7342 . . . . . . . . . . 11
1813, 17syl6eqbr 3407 . . . . . . . . . 10
19 fveq2 4717 . . . . . . . . . . . 12
2019breq1d 3380 . . . . . . . . . . 11
2120rcla4ev 2410 . . . . . . . . . 10
2212, 18, 21syl2anc 637 . . . . . . . . 9
2322biantrurd 489 . . . . . . . 8
2423adantr 444 . . . . . . 7
25 eqid 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15
261, 25, 30oval 12695 . . . . . . . . . . . . . 14
27263expa 1112 . . . . . . . . . . . . 13
2827fveq2d 4721 . . . . . . . . . . . 12
2925, 6nvz0 12560 . . . . . . . . . . . . 13
3029ad2antlr 702 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30eqtrd 1950 . . . . . . . . . . 11
3231eqeq2d 1929 . . . . . . . . . 10
3332anbi2d 678 . . . . . . . . 9
3433rexbidva 2142 . . . . . . . 8
35 r19.41v 2264 . . . . . . . 8
3634, 35syl6rbb 251 . . . . . . 7
3724, 36bitrd 242 . . . . . 6
3837abbidv 2026 . . . . 5
3910, 38syl5req 1963 . . . 4
4039supeq1d 6136 . . 3
419, 40eqtrd 1950 . 2
42 0xr 7292 . . 3
43 xrltso 8350 . . . 4
4443supsn 6158 . . 3
4542, 44ax-mp 8 . 2
4641, 45syl6eq 1966 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wa 357   wceq 1414   wcel 1416  cab 1905  wrex 2128  csn 3079   class class class wbr 3370  wf 4015  cfv 4019  (class class class)co 4979  csup 6130  cc0 7170  c1 7171   cle 7278  cxr 7281   clt 7282  cnv 12466  cba 12468  cn0v 12470  cnm 12472  cnmo 12648   c0o 12650
This theorem is referenced by:  0blo 12699  nmlno0lem 12700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-rep 3456  ax-sep 3466  ax-nul 3475  ax-pow 3511  ax-pr 3535  ax-un 3809  ax-inf2 6217  ax-resscn 7224  ax-1cn 7225  ax-icn 7226  ax-addcl 7227  ax-addrcl 7228  ax-mulcl 7229  ax-mulrcl 7230  ax-mulcom 7231  ax-addass 7232  ax-mulass 7233  ax-distr 7234  ax-i2m1 7235  ax-1ne0 7236  ax-1rid 7237  ax-rnegex 7238  ax-rrecex 7239  ax-cnre 7240  ax-pre-lttri 7241  ax-pre-lttrn 7242  ax-pre-ltadd 7243  ax-pre-mulgt0 7244  ax-pre-sup 7245
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-nel 2038  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2326  df-sbc 2493  df-csb 2575  df-dif 2637  df-un 2639  df-in 2641  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2903  df-if 3009  df-pw 3068  df-sn 3085  df-pr 3086  df-tp 3087  df-op 3088  df-uni 3224  df-iun 3297  df-br 3371  df-opab 3425  df-tr 3440  df-eprel 3620  df-id 3623  df-po 3628  df-so 3642  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3974  df-xp 4021  df-rel 4022  df-cnv 4023  df-co 4024  df-dm 4025  df-rn 4026  df-res 4027  df-ima 4028  df-fun 4029  df-fn 4030  df-f 4031  df-f1 4032  df-fo 4033  df-f1o 4034  df-fv 4035  df-ov 4981  df-oprab 4982  df-mpt 5142  df-mpt2 5143  df-1st 5269  df-2nd 5270  df-iota 5377  df-rdg 5468  df-er 5643  df-map 5735  df-en 5800  df-dom 5801  df-sdom 5802  df-riota 5951  df-sup 6131  df-pnf 7283  df-mnf 7284  df-xr 7285  df-ltxr 7286  df-le 7287  df-sub 7412  df-neg 7414  df-div 7638  df-n 7877  df-2 7923  df-3 7924  df-n0 8049  df-z 8094  df-uz 8214  df-q 8296  df-rp 8421  df-seq 8754  df-exp 8807  df-cj 9050  df-re 9051  df-im 9052  df-sqr 9144  df-abs 9145  df-grpo 11333  df-gid 11334  df-ginv 11335  df-ablo 11424  df-vc 12428  df-nv 12474  df-va 12477  df-ba 12478  df-sm 12479  df-0v 12480  df-nm 12482  df-nmo 12652  df-0o 12654
Copyright terms: Public domain