MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmo0 Structured version   Unicode version

Theorem nmo0 18761
Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmo0.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmo0.3  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
Assertion
Ref Expression
nmo0  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  0 )

Proof of Theorem nmo0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmo0.1 . . 3  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmo0.2 . . 3  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2435 . . 3  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
5 eqid 2435 . . 3  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 simpl 444 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  S  e. NrmGrp )
7 simpr 448 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  T  e. NrmGrp )
8 ngpgrp 18638 . . . 4  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
9 ngpgrp 18638 . . . 4  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
10 nmo0.3 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
1110, 20ghm 15012 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
128, 9, 11syl2an 464 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 0re 9083 . . . 4  |-  0  e.  RR
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  e.  RR )
15 0le0 10073 . . . 4  |-  0  <_  0
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  <_  0 )
17 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
1810, 17eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
1918fvconst2 5939 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  ->  (
( V  X.  {  .0.  } ) `  x
)  =  .0.  )
2019ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( V  X.  {  .0.  } ) `  x )  =  .0.  )
2120fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  {  .0.  }
) `  x )
)  =  ( (
norm `  T ) `  .0.  ) )
224, 10nm0 18665 . . . . . 6  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( ( norm `  T ) `  .0.  )  =  0 )
2322ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  .0.  )  =  0 )
2421, 23eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  {  .0.  }
) `  x )
)  =  0 )
252, 3nmcl 18654 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
2625ad2ant2r 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  RR )
2726recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  CC )
2827mul02d 9256 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( 0  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  =  0 )
2915, 28syl5breqr 4240 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
0  <_  ( 0  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) )
3024, 29eqbrtrd 4224 . . 3  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  {  .0.  }
) `  x )
)  <_  ( 0  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 16, 30nmolb2d 18744 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  <_ 
0 )
321nmoge0 18747 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
3312, 32mpd3an3 1280 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  <_  ( N `  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
341nmocl 18746 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  e.  RR* )
3512, 34mpd3an3 1280 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  e. 
RR* )
36 0xr 9123 . . 3  |-  0  e.  RR*
37 xrletri3 10737 . . 3  |-  ( ( ( N `  ( V  X.  {  .0.  }
) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  0  <-> 
( ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  <_  0  /\  0  <_  ( N `
 ( V  X.  {  .0.  } ) ) ) ) )
3835, 36, 37sylancl 644 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  0  <->  (
( N `  ( V  X.  {  .0.  }
) )  <_  0  /\  0  <_  ( N `
 ( V  X.  {  .0.  } ) ) ) ) )
3931, 33, 38mpbir2and 889 1  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677    GrpHom cghm 14995   normcnm 18616  NrmGrpcngp 18617   normOpcnmo 18731
This theorem is referenced by:  nmoeq0  18762  0nghm  18767  idnghm  18769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nmo 18734
  Copyright terms: Public domain W3C validator