HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 11924
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3 |- N = (UnormOpW)
nmo0.0 |- Z = (U 0op W)
Assertion
Ref Expression
nmo0 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 1938 . . . . 5 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
2 eqid 1938 . . . . 5 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
3 nmo0.0 . . . . 5 |- Z = (U 0op W)
41, 2, 30oo 11922 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W))
5 eqid 1938 . . . . 5 |- (norm` U) = (norm` U)
6 eqid 1938 . . . . 5 |- (norm` W) = (norm` W)
7 nmo0.3 . . . . 5 |- N = (UnormOpW)
81, 2, 5, 6, 7nmoval 11896 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W)) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
94, 8mpd3an3 1258 . . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
10 df-sn 3085 . . . . 5 |- {0} = {x | x = 0}
11 eqid 1938 . . . . . . . . . . 11 |- (0vec` U) = (0vec` U)
121, 11nvzcl 11744 . . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> (0vec` U) e. (BaseSet` U))
1311, 5nvz0 11786 . . . . . . . . . . 11 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0vec` U)) = 0)
14 0re 7114 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
15 1re 7113 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
16 lt01 7450 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
1714, 15, 16ltleii 7179 . . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
1813, 17syl6eqbr 3400 . . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1)
19 fveq2 4677 . . . . . . . . . . . 12 |- (z = (0vec`
U) -> ((norm` U)` z) = ((norm` U)` (0vec` U)))
2019breq1d 3373 . . . . . . . . . . 11 |- (z = (0vec`
U) -> (((norm`
U)` z) <_ 1 <-> ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1))
2120rcla4ev 2429 . . . . . . . . . 10 |- (((0vec` U) e. (BaseSet` U) /\ ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1) -> E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1)
2212, 18, 21syl2anc 645 . . . . . . . . 9 |- (U e. NrmCVec -> E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1)
2322biantrurd 497 . . . . . . . 8 |- (U e. NrmCVec -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
2423adantr 452 . . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
25 eqid 1938 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0vec` W) = (0vec` W)
261, 25, 30oval 11921 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0vec` W))
27263expa 1132 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0vec` W))
2827fveq2d 4681 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = ((norm` W)` (0vec` W)))
2925, 6nvz0 11786 . . . . . . . . . . . . 13 |- (W e. NrmCVec -> ((norm` W)` (0vec` W)) = 0)
3029ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (0vec` W)) = 0)
3128, 30eqtrd 1970 . . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = 0)
3231eqeq2d 1949 . . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (x = ((norm`
W)` (Z` z)) <-> x = 0))
3332anbi2d 688 . . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> (((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
3433rexbidva 2162 . . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
35 r19.41v 2283 . . . . . . . 8 |- (E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0))
3634, 35syl6rbb 252 . . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> ((E.z e. (BaseSet` U)((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
3724, 36bitrd 243 . . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
3837abbidv 2047 . . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | x = 0} = {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))})
3910, 38syl5req 1983 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0})
4039supeq1d 6005 . . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm`
U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
419, 40eqtrd 1970 . 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({0}, RR*, < ))
42 0xr 7129 . . 3 |- 0 e. RR*
43 xrltso 8184 . . . 4 |- < Or RR*
4443supsn 6027 . . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
4542, 44ax-mp 8 . 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
4641, 45syl6eq 1986 1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 174   /\ wa 361   = wceq 1434   e. wcel 1436  {cab 1925  E.wrex 2148  {csn 3079   class class class wbr 3363  -->wf 4004  ` cfv 4008  (class class class)co 4927  supcsup 5999  0cc0 7007  1c1 7008   <_ cle 7115  RR*cxr 7118   < clt 7119  NrmCVeccnv 11692  BaseSetcba 11694  0veccn0v 11696  normcnm 11698  normOpcnmo 11874   0op c0o 11876
This theorem is referenced by:  0blo 11925  nmlno0lem 11926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-ext 1920  ax-rep 3449  ax-sep 3459  ax-nul 3468  ax-pow 3504  ax-pr 3528  ax-un 3800  ax-inf2 6079  ax-resscn 7061  ax-1cn 7062  ax-icn 7063  ax-addcl 7064  ax-addrcl 7065  ax-mulcl 7066  ax-mulrcl 7067  ax-mulcom 7068  ax-addass 7069  ax-mulass 7070  ax-distr 7071  ax-i2m1 7072  ax-1ne0 7073  ax-1rid 7074  ax-rnegex 7075  ax-rrecex 7076  ax-cnre 7077  ax-pre-lttri 7078  ax-pre-lttrn 7079  ax-pre-ltadd 7080  ax-pre-mulgt0 7081  ax-pre-sup 7082
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-nel 2059  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3010  df-pw 3068  df-sn 3085  df-pr 3086  df-tp 3087  df-op 3088  df-uni 3219  df-iun 3291  df-br 3364  df-opab 3418  df-tr 3433  df-eprel 3613  df-id 3616  df-po 3621  df-so 3635  df-fr 3654  df-we 3670  df-ord 3686  df-on 3687  df-lim 3688  df-suc 3689  df-om 3963  df-xp 4010  df-rel 4011  df-cnv 4012  df-co 4013  df-dm 4014  df-rn 4015  df-res 4016  df-ima 4017  df-fun 4018  df-fn 4019  df-f 4020  df-f1 4021  df-fo 4022  df-f1o 4023  df-fv 4024  df-ov 4929  df-oprab 4930  df-mpt 5065  df-mpt2 5066  df-1st 5174  df-2nd 5175  df-iota 5278  df-rdg 5364  df-er 5538  df-map 5626  df-en 5683  df-dom 5684  df-sdom 5685  df-riota 5826  df-sup 6000  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7249  df-neg 7251  df-div 7475  df-n 7714  df-2 7760  df-3 7761  df-n0 7884  df-z 7928  df-uz 8048  df-q 8130  df-rp 8255  df-seq 8585  df-exp 8637  df-cj 8871  df-re 8872  df-im 8873  df-sqr 8965  df-abs 8966  df-grpo 10609  df-gid 10610  df-ginv 10611  df-ablo 10704  df-vc 11654  df-nv 11700  df-va 11703  df-ba 11704  df-sm 11705  df-0v 11706  df-nm 11708  df-nmo 11878  df-0o 11880
Copyright terms: Public domain