HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 13134
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3
nmo0.0
Assertion
Ref Expression
nmo0

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 1918 . . . . 5
2 eqid 1918 . . . . 5
3 nmo0.0 . . . . 5
41, 2, 30oo 13132 . . . 4
5 eqid 1918 . . . . 5
6 eqid 1918 . . . . 5
7 nmo0.3 . . . . 5
81, 2, 5, 6, 7nmoval 13106 . . . 4
94, 8mpd3an3 1238 . . 3
10 df-sn 3089 . . . . 5
11 eqid 1918 . . . . . . . . . . 11
121, 11nvzcl 12954 . . . . . . . . . 10
1311, 5nvz0 12996 . . . . . . . . . . 11
14 0re 7319 . . . . . . . . . . . 12
15 1re 7318 . . . . . . . . . . . 12
16 lt01 7657 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16ltleii 7384 . . . . . . . . . . 11
1813, 17syl6eqbr 3420 . . . . . . . . . 10
19 fveq2 4735 . . . . . . . . . . . 12
2019breq1d 3393 . . . . . . . . . . 11
2120rcla4ev 2412 . . . . . . . . . 10
2212, 18, 21syl2anc 637 . . . . . . . . 9
2322biantrurd 489 . . . . . . . 8
2423adantr 444 . . . . . . 7
25 eqid 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15
261, 25, 30oval 13131 . . . . . . . . . . . . . 14
27263expa 1112 . . . . . . . . . . . . 13
2827fveq2d 4739 . . . . . . . . . . . 12
2925, 6nvz0 12996 . . . . . . . . . . . . 13
3029ad2antlr 702 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30eqtrd 1950 . . . . . . . . . . 11
3231eqeq2d 1929 . . . . . . . . . 10
3332anbi2d 678 . . . . . . . . 9
3433rexbidva 2142 . . . . . . . 8
35 r19.41v 2264 . . . . . . . 8
3634, 35syl6rbb 251 . . . . . . 7
3724, 36bitrd 242 . . . . . 6
3837abbidv 2026 . . . . 5
3910, 38syl5req 1963 . . . 4
4039supeq1d 6175 . . 3
419, 40eqtrd 1950 . 2
42 0xr 7334 . . 3
43 xrltso 8408 . . . 4
4443supsn 6197 . . 3
4542, 44ax-mp 8 . 2
4641, 45syl6eq 1966 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wa 357   wceq 1414   wcel 1416  cab 1905  wrex 2128  csn 3083   class class class wbr 3383  wf 4029  cfv 4033  (class class class)co 5002  csup 6169  cc0 7212  c1 7213   cle 7320  cxr 7323   clt 7324  cnv 12902  cba 12904  cn0v 12906  cnm 12908  cnmo 13084   c0o 13086
This theorem is referenced by:  0blo 13135  nmlno0lem 13136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-rep 3469  ax-sep 3479  ax-nul 3488  ax-pow 3524  ax-pr 3548  ax-un 3823  ax-inf2 6256  ax-resscn 7266  ax-1cn 7267  ax-icn 7268  ax-addcl 7269  ax-addrcl 7270  ax-mulcl 7271  ax-mulrcl 7272  ax-mulcom 7273  ax-addass 7274  ax-mulass 7275  ax-distr 7276  ax-i2m1 7277  ax-1ne0 7278  ax-1rid 7279  ax-rnegex 7280  ax-rrecex 7281  ax-cnre 7282  ax-pre-lttri 7283  ax-pre-lttrn 7284  ax-pre-ltadd 7285  ax-pre-mulgt0 7286  ax-pre-sup 7287
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-nel 2038  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2328  df-sbc 2495  df-csb 2577  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2647  df-pss 2649  df-nul 2905  df-if 3012  df-pw 3072  df-sn 3089  df-pr 3090  df-tp 3091  df-op 3092  df-uni 3234  df-iun 3307  df-br 3384  df-opab 3438  df-tr 3453  df-eprel 3634  df-id 3637  df-po 3642  df-so 3656  df-fr 3676  df-we 3692  df-ord 3708  df-on 3709  df-lim 3710  df-suc 3711  df-om 3988  df-xp 4035  df-rel 4036  df-cnv 4037  df-co 4038  df-dm 4039  df-rn 4040  df-res 4041  df-ima 4042  df-fun 4043  df-fn 4044  df-f 4045  df-f1 4046  df-fo 4047  df-f1o 4048  df-fv 4049  df-ov 5004  df-oprab 5005  df-mpt 5165  df-mpt2 5166  df-1st 5296  df-2nd 5297  df-iota 5407  df-rdg 5498  df-er 5673  df-map 5765  df-en 5830  df-dom 5831  df-sdom 5832  df-riota 5987  df-sup 6170  df-pnf 7325  df-mnf 7326  df-xr 7327  df-ltxr 7328  df-le 7329  df-sub 7455  df-neg 7457  df-div 7682  df-n 7921  df-2 7967  df-3 7968  df-n0 8105  df-z 8150  df-uz 8272  df-q 8354  df-rp 8481  df-seq 8819  df-exp 8873  df-cj 9120  df-re 9121  df-im 9122  df-sqr 9216  df-abs 9217  df-grpo 11516  df-gid 11517  df-ginv 11518  df-ablo 11607  df-vc 12864  df-nv 12910  df-va 12913  df-ba 12914  df-sm 12915  df-0v 12916  df-nm 12918  df-nmo 13088  df-0o 13090
Copyright terms: Public domain