HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 12533
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3
nmo0.0
Assertion
Ref Expression
nmo0

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 1917 . . . . 5
2 eqid 1917 . . . . 5
3 nmo0.0 . . . . 5
41, 2, 30oo 12531 . . . 4
5 eqid 1917 . . . . 5
6 eqid 1917 . . . . 5
7 nmo0.3 . . . . 5
81, 2, 5, 6, 7nmoval 12505 . . . 4
94, 8mpd3an3 1237 . . 3
10 df-sn 3079 . . . . 5
11 eqid 1917 . . . . . . . . . . 11
121, 11nvzcl 12353 . . . . . . . . . 10
1311, 5nvz0 12395 . . . . . . . . . . 11
14 0re 7214 . . . . . . . . . . . 12
15 1re 7213 . . . . . . . . . . . 12
16 lt01 7550 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16ltleii 7279 . . . . . . . . . . 11
1813, 17syl6eqbr 3395 . . . . . . . . . 10
19 fveq2 4690 . . . . . . . . . . . 12
2019breq1d 3368 . . . . . . . . . . 11
2120rcla4ev 2408 . . . . . . . . . 10
2212, 18, 21syl2anc 636 . . . . . . . . 9
2322biantrurd 488 . . . . . . . 8
2423adantr 443 . . . . . . 7
25 eqid 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15
261, 25, 30oval 12530 . . . . . . . . . . . . . 14
27263expa 1111 . . . . . . . . . . . . 13
2827fveq2d 4694 . . . . . . . . . . . 12
2925, 6nvz0 12395 . . . . . . . . . . . . 13
3029ad2antlr 701 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30eqtrd 1949 . . . . . . . . . . 11
3231eqeq2d 1928 . . . . . . . . . 10
3332anbi2d 677 . . . . . . . . 9
3433rexbidva 2140 . . . . . . . 8
35 r19.41v 2262 . . . . . . . 8
3634, 35syl6rbb 250 . . . . . . 7
3724, 36bitrd 241 . . . . . 6
3837abbidv 2025 . . . . 5
3910, 38syl5req 1962 . . . 4
4039supeq1d 6080 . . 3
419, 40eqtrd 1949 . 2
42 0xr 7229 . . 3
43 xrltso 8285 . . . 4
4443supsn 6102 . . 3
4542, 44ax-mp 8 . 2
4641, 45syl6eq 1965 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 173   wa 356   wceq 1413   wcel 1415  cab 1904  wrex 2126  csn 3073   class class class wbr 3358  wf 4003  cfv 4007  (class class class)co 4944  csup 6074  cc0 7107  c1 7108   cle 7215  cxr 7218   clt 7219  cnv 12301  cba 12303  cn0v 12305  cnm 12307  cnmo 12483   c0o 12485
This theorem is referenced by:  0blo 12534  nmlno0lem 12535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1330  ax-6 1331  ax-7 1332  ax-gen 1333  ax-8 1417  ax-10 1418  ax-11 1419  ax-12 1420  ax-13 1421  ax-14 1422  ax-17 1429  ax-9 1444  ax-4 1450  ax-16 1628  ax-ext 1899  ax-rep 3444  ax-sep 3454  ax-nul 3463  ax-pow 3499  ax-pr 3523  ax-un 3797  ax-inf2 6154  ax-resscn 7161  ax-1cn 7162  ax-icn 7163  ax-addcl 7164  ax-addrcl 7165  ax-mulcl 7166  ax-mulrcl 7167  ax-mulcom 7168  ax-addass 7169  ax-mulass 7170  ax-distr 7171  ax-i2m1 7172  ax-1ne0 7173  ax-1rid 7174  ax-rnegex 7175  ax-rrecex 7176  ax-cnre 7177  ax-pre-lttri 7178  ax-pre-lttrn 7179  ax-pre-ltadd 7180  ax-pre-mulgt0 7181  ax-pre-sup 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 174  df-or 357  df-an 358  df-3or 899  df-3an 900  df-tru 1308  df-ex 1335  df-sb 1590  df-eu 1817  df-mo 1818  df-clab 1905  df-cleq 1910  df-clel 1913  df-ne 2036  df-nel 2037  df-ral 2129  df-rex 2130  df-reu 2131  df-rab 2132  df-v 2324  df-sbc 2491  df-csb 2573  df-dif 2635  df-un 2637  df-in 2639  df-ss 2641  df-pss 2643  df-nul 2899  df-if 3004  df-pw 3062  df-sn 3079  df-pr 3080  df-tp 3081  df-op 3082  df-uni 3214  df-iun 3286  df-br 3359  df-opab 3413  df-tr 3428  df-eprel 3608  df-id 3611  df-po 3616  df-so 3630  df-fr 3650  df-we 3666  df-ord 3682  df-on 3683  df-lim 3684  df-suc 3685  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-f1 4020  df-fo 4021  df-f1o 4022  df-fv 4023  df-ov 4946  df-oprab 4947  df-mpt 5106  df-mpt2 5107  df-1st 5231  df-2nd 5232  df-iota 5336  df-rdg 5424  df-er 5598  df-map 5690  df-en 5750  df-dom 5751  df-sdom 5752  df-riota 5896  df-sup 6075  df-pnf 7220  df-mnf 7221  df-xr 7222  df-ltxr 7223  df-le 7224  df-sub 7349  df-neg 7351  df-div 7575  df-n 7814  df-2 7860  df-3 7861  df-n0 7984  df-z 8029  df-uz 8149  df-q 8231  df-rp 8356  df-seq 8688  df-exp 8741  df-cj 8984  df-re 8985  df-im 8986  df-sqr 9078  df-abs 9079  df-grpo 11233  df-gid 11234  df-ginv 11235  df-ablo 11324  df-vc 12263  df-nv 12309  df-va 12312  df-ba 12313  df-sm 12314  df-0v 12315  df-nm 12317  df-nmo 12487  df-0o 12489
Copyright terms: Public domain