HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 16419
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3
nmo0.0
Assertion
Ref Expression
nmo0

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 2030 . . . . 5
2 eqid 2030 . . . . 5
3 nmo0.0 . . . . 5
41, 2, 30oo 16417 . . . 4
5 eqid 2030 . . . . 5
6 eqid 2030 . . . . 5
7 nmo0.3 . . . . 5
81, 2, 5, 6, 7nmoval 16391 . . . 4
94, 8mpd3an3 1238 . . 3
10 df-sn 3214 . . . . 5
11 eqid 2030 . . . . . . . . . . 11
121, 11nvzcl 16238 . . . . . . . . . 10
1311, 5nvz0 16280 . . . . . . . . . . 11
14 0re 8016 . . . . . . . . . . . 12
15 1re 8015 . . . . . . . . . . . 12
16 0lt1 8359 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16ltleii 8085 . . . . . . . . . . 11
1813, 17syl6eqbr 3568 . . . . . . . . . 10
19 fveq2 4910 . . . . . . . . . . . 12
2019breq1d 3541 . . . . . . . . . . 11
2120rcla4ev 2526 . . . . . . . . . 10
2212, 18, 21syl2anc 637 . . . . . . . . 9
2322biantrurd 489 . . . . . . . 8
2423adantr 444 . . . . . . 7
25 eqid 2030 . . . . . . . . . . . . . . 15
261, 25, 30oval 16416 . . . . . . . . . . . . . 14
27263expa 1112 . . . . . . . . . . . . 13
2827fveq2d 4914 . . . . . . . . . . . 12
2925, 6nvz0 16280 . . . . . . . . . . . . 13
3029ad2antlr 702 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30eqtrd 2062 . . . . . . . . . . 11
3231eqeq2d 2041 . . . . . . . . . 10
3332anbi2d 678 . . . . . . . . 9
3433rexbidva 2254 . . . . . . . 8
35 r19.41v 2377 . . . . . . . 8
3634, 35syl6rbb 251 . . . . . . 7
3724, 36bitrd 242 . . . . . 6
3837abbidv 2138 . . . . 5
3910, 38syl5req 2075 . . . 4
4039supeq1d 6479 . . 3
419, 40eqtrd 2062 . 2
42 0xr 8031 . . 3
43 xrltso 9202 . . . 4
4443supsn 6503 . . 3
4542, 44ax-mp 8 . 2
4641, 45syl6eq 2078 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wa 357   wceq 1526   wcel 1528  cab 2017  wrex 2240  csn 3208   class class class wbr 3531  wf 4180  cfv 4184  (class class class)co 5206  csup 6473  cc0 7908  c1 7909   cle 8017  cxr 8020   clt 8021  cnv 16186  cba 16188  cn0v 16190  cnm 16192  cnmo 16369   c0o 16371
This theorem is referenced by:  0blo 16420  nmlno0lem 16421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1443  ax-6 1444  ax-7 1445  ax-gen 1446  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-12 1533  ax-13 1534  ax-14 1535  ax-17 1542  ax-9 1557  ax-4 1563  ax-16 1741  ax-ext 2012  ax-rep 3616  ax-sep 3626  ax-nul 3635  ax-pow 3671  ax-pr 3695  ax-un 3973  ax-inf2 6607  ax-resscn 7962  ax-1cn 7963  ax-icn 7964  ax-addcl 7965  ax-addrcl 7966  ax-mulcl 7967  ax-mulrcl 7968  ax-mulcom 7969  ax-addass 7970  ax-mulass 7971  ax-distr 7972  ax-i2m1 7973  ax-1ne0 7974  ax-1rid 7975  ax-rnegex 7976  ax-rrecex 7977  ax-cnre 7978  ax-pre-lttri 7979  ax-pre-lttrn 7980  ax-pre-ltadd 7981  ax-pre-mulgt0 7982  ax-pre-sup 7983
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1261  df-ex 1448  df-sb 1703  df-eu 1930  df-mo 1931  df-clab 2018  df-cleq 2023  df-clel 2026  df-ne 2149  df-nel 2150  df-ral 2243  df-rex 2244  df-reu 2245  df-rab 2246  df-v 2442  df-sbc 2609  df-csb 2691  df-dif 2753  df-un 2755  df-in 2757  df-ss 2761  df-pss 2763  df-nul 3026  df-if 3135  df-pw 3196  df-sn 3214  df-pr 3215  df-tp 3216  df-op 3217  df-uni 3375  df-iun 3451  df-br 3532  df-opab 3585  df-tr 3600  df-eprel 3783  df-id 3787  df-po 3792  df-so 3806  df-fr 3826  df-we 3842  df-ord 3858  df-on 3859  df-lim 3860  df-suc 3861  df-om 4139  df-xp 4186  df-rel 4187  df-cnv 4188  df-co 4189  df-dm 4190  df-rn 4191  df-res 4192  df-ima 4193  df-fun 4194  df-fn 4195  df-f 4196  df-f1 4197  df-fo 4198  df-f1o 4199  df-fv 4200  df-ov 5208  df-oprab 5209  df-mpt 5371  df-mpt2 5372  df-1st 5521  df-2nd 5522  df-iota 5647  df-recs 5722  df-rdg 5750  df-er 5952  df-map 6044  df-en 6121  df-dom 6122  df-sdom 6123  df-riota 6281  df-sup 6474  df-pnf 8022  df-mnf 8023  df-xr 8024  df-ltxr 8025  df-le 8026  df-sub 8157  df-neg 8159  df-div 8385  df-n 8625  df-2 8671  df-3 8672  df-n0 8817  df-z 8868  df-uz 9062  df-q 9148  df-rp 9277  df-seq 9612  df-exp 9667  df-cj 9923  df-re 9924  df-im 9925  df-sqr 10021  df-abs 10022  df-grpo 15904  df-gid 15905  df-ginv 15906  df-ablo 15995  df-vc 16148  df-nv 16194  df-va 16197  df-ba 16198  df-sm 16199  df-0v 16200  df-nm 16202  df-nmo 16373  df-0o 16375
Copyright terms: Public domain