MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmo0 Unicode version

Theorem nmo0 17922
Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmo0.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmo0.3  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
Assertion
Ref Expression
nmo0  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  0 )

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 nmo0.1 . . 3  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmo0.2 . . 3  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2241 . . 3  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2241 . . 3  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
5 eqid 2241 . . 3  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 simpl 439 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  S  e. NrmGrp )
7 simpr 443 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  T  e. NrmGrp )
8 ngpgrp 17799 . . . 4  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
9 ngpgrp 17799 . . . 4  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
10 nmo0.3 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
1110, 20ghm 14378 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
128, 9, 11syl2an 459 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 0re 8692 . . . 4  |-  0  e.  RR
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  e.  RR )
15 0le0 9647 . . . 4  |-  0  <_  0
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  <_  0 )
17 fvex 5366 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
1810, 17eqeltri 2311 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
1918fvconst2 5556 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  ->  (
( V  X.  {  .0.  } ) `  x
)  =  .0.  )
2019ad2antrl 705 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( V  X.  {  .0.  } ) `  x )  =  .0.  )
2120fveq2d 5356 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  {  .0.  }
) `  x )
)  =  ( (
norm `  T ) `  .0.  ) )
224, 10nm0 17826 . . . . . 6  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( ( norm `  T ) `  .0.  )  =  0 )
2322ad2antlr 704 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  .0.  )  =  0 )
2421, 23eqtrd 2273 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  {  .0.  }
) `  x )
)  =  0 )
252, 3nmcl 17815 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
2625ad2ant2r 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  RR )
2726recnd 8715 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  CC )
2827mul02d 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( 0  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  =  0 )
2915, 28syl5breqr 3936 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
0  <_  ( 0  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) )
3024, 29eqbrtrd 3920 . . 3  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( ( V  X.  {  .0.  }
) `  x )
)  <_  ( 0  x.  ( ( norm `  S ) `  x
) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 16, 30nmolb2d 17905 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  <_ 
0 )
321nmoge0 17908 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
3312, 32mpd3an3 1277 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  0  <_  ( N `  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
341nmocl 17907 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  e.  RR* )
3512, 34mpd3an3 1277 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  e. 
RR* )
36 0xr 8732 . . 3  |-  0  e.  RR*
37 xrletri3 10304 . . 3  |-  ( ( ( N `  ( V  X.  {  .0.  }
) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  0  <-> 
( ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  <_  0  /\  0  <_  ( N `
 ( V  X.  {  .0.  } ) ) ) ) )
3835, 36, 37sylancl 640 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  0  <->  (
( N `  ( V  X.  {  .0.  }
) )  <_  0  /\  0  <_  ( N `
 ( V  X.  {  .0.  } ) ) ) ) )
3931, 33, 38mpbir2and 887 1  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( N `  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 5    <-> wb 175    /\ wa 357    = wceq 1608    e. wcel 1610    =/= wne 2400   _Vcvv 2712   {csn 3524   class class class wbr 3900    X. cxp 4557   ` cfv 4571  (class class class)co 5685   RRcr 8590   0cc0 8591    x. cmul 8596   RR*cxr 8720    <_ cle 8722   Basecbs 12956   0gc0g 13208   Grpcgrp 14043    GrpHom cghm 14361   normcnm 17777  NrmGrpcngp 17778   normOpcnmo 17892
This theorem is referenced by:  nmoeq0  17923  0nghm  17928  idnghm  17930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-mp 9  ax-5 1522  ax-6 1523  ax-7 1524  ax-gen 1525  ax-8 1612  ax-11 1613  ax-13 1614  ax-14 1615  ax-17 1617  ax-12o 1653  ax-10 1667  ax-9 1673  ax-4 1681  ax-16 1915  ax-ext 2222  ax-rep 4007  ax-sep 4017  ax-nul 4025  ax-pow 4061  ax-pr 4087  ax-un 4382  ax-cnex 8647  ax-resscn 8648  ax-1cn 8649  ax-icn 8650  ax-addcl 8651  ax-addrcl 8652  ax-mulcl 8653  ax-mulrcl 8654  ax-mulcom 8655  ax-addass 8656  ax-mulass 8657  ax-distr 8658  ax-i2m1 8659  ax-1ne0 8660  ax-1rid 8661  ax-rnegex 8662  ax-rrecex 8663  ax-cnre 8664  ax-pre-lttri 8665  ax-pre-lttrn 8666  ax-pre-ltadd 8667  ax-pre-mulgt0 8668  ax-pre-sup 8669
This theorem depends on definitions:  df-bi 176  df-or 358  df-an 359  df-3or 934  df-3an 935  df-tru 1309  df-ex 1527  df-nf 1529  df-sb 1872  df-eu 2106  df-mo 2107  df-clab 2228  df-cleq 2234  df-clel 2237  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2403  df-ral 2499  df-rex 2500  df-reu 2501  df-rab 2502  df-v 2714  df-sbc 2907  df-csb 2990  df-dif 3061  df-un 3063  df-in 3065  df-ss 3069  df-pss 3071  df-nul 3343  df-if 3451  df-pw 3512  df-sn 3530  df-pr 3531  df-tp 3532  df-op 3533  df-uni 3708  df-iun 3785  df-br 3901  df-opab 3955  df-mpt 3956  df-tr 3990  df-eprel 4177  df-id 4181  df-po 4186  df-so 4187  df-fr 4224  df-we 4226  df-ord 4267  df-on 4268  df-lim 4269  df-suc 4270  df-om 4527  df-xp 4573  df-rel 4574  df-cnv 4575  df-co 4576  df-dm 4577  df-rn 4578  df-res 4579  df-ima 4580  df-fun 4581  df-fn 4582  df-f 4583  df-f1 4584  df-fo 4585  df-f1o 4586  df-fv 4587  df-ov 5688  df-oprab 5689  df-mpt2 5690  df-1st 5948  df-2nd 5949  df-iota 6117  df-riota 6164  df-recs 6248  df-rdg 6283  df-er 6520  df-map 6634  df-en 6724  df-dom 6725  df-sdom 6726  df-sup 7052  df-pnf 8723  df-mnf 8724  df-xr 8725  df-ltxr 8726  df-le 8727  df-sub 8888  df-neg 8889  df-div 9256  df-n 9567  df-2 9624  df-n0 9784  df-z 9843  df-uz 10049  df-q 10135  df-rp 10173  df-xneg 10270  df-xadd 10271  df-xmul 10272  df-ico 10479  df-topgen 13152  df-0g 13212  df-mnd 14048  df-mhm 14096  df-grp 14170  df-ghm 14362  df-xmet 16051  df-met 16052  df-bl 16053  df-mopn 16054  df-top 16314  df-bases 16316  df-topon 16317  df-topsp 16318  df-xms 17563  df-ms 17564  df-nm 17783  df-ngp 17784  df-nmo 17895
  Copyright terms: Public domain W3C validator