HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem nmo0 11346
Description: The operator norm of the zero operator.
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.3 |- N = (UnormOpW)
nmo0.0 |- Z = (U 0op W)
Assertion
Ref Expression
nmo0 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nmo0
StepHypRef Expression
1 eqid 2092 . . . . 5 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
2 eqid 2092 . . . . 5 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
3 nmo0.0 . . . . 5 |- Z = (U 0op W)
41, 2, 30oo 11344 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W))
5 eqid 2092 . . . . 5 |- (norm` U) = (norm` U)
6 eqid 2092 . . . . 5 |- (norm` W) = (norm` W)
7 nmo0.3 . . . . 5 |- N = (UnormOpW)
81, 2, 5, 6, 7nmoval 11318 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ Z:(BaseSet` U)-->(BaseSet` W)) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
94, 8mpd3an3 1396 . . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
10 df-sn 3237 . . . . 5 |- {0} = {x | x = 0}
11 eqid 2092 . . . . . . . . . . 11 |- (0vec` U) = (0vec` U)
121, 11nvzcl 11151 . . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> (0vec` U) e. (BaseSet` U))
1311, 5nvz0 11193 . . . . . . . . . . 11 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0vec` U)) = 0)
14 0re 7213 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
15 1re 7212 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
16 lt01 7546 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
1714, 15, 16ltleii 7277 . . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
1813, 17syl6eqbr 3550 . . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1)
19 fveq2 4816 . . . . . . . . . . . 12 |- (z = (0vec` U) -> ((norm` U)` z) = ((norm` U)` (0vec` U)))
2019breq1d 3519 . . . . . . . . . . 11 |- (z = (0vec` U) -> (((norm` U)` z) <_ 1 <-> ((norm`
U)` (0vec` U)) <_ 1))
2120rcla4ev 2591 . . . . . . . . . 10 |- (((0vec` U) e. (BaseSet` U) /\ ((norm` U)` (0vec` U)) <_ 1) -> E.z e. (BaseSet` U)((norm`
U)` z) <_ 1)
2212, 18, 21syl11anc 736 . . . . . . . . 9 |- (U e. NrmCVec -> E.z e. (BaseSet` U)((norm`
U)` z) <_ 1)
2322biantrurd 572 . . . . . . . 8 |- (U e. NrmCVec -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
2423adantr 516 . . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
25 eqid 2092 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0vec` W) = (0vec` W)
261, 25, 30oval 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0vec` W))
27263expa 1246 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (Z` z) = (0vec` W))
2827fveq2d 4820 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = ((norm`
W)` (0vec` W)))
2925, 6nvz0 11193 . . . . . . . . . . . . 13 |- (W e. NrmCVec -> ((norm` W)` (0vec` W)) = 0)
3029ad2antlr 825 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (0vec` W)) = 0)
3128, 30eqtrd 2124 . . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = 0)
3231eqeq2d 2103 . . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> (x = ((norm` W)` (Z` z)) <-> x = 0))
3332anbi2d 795 . . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (BaseSet` U)) -> ((((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
3433rexbidva 2325 . . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
35 r19.41v 2440 . . . . . . . 8 |- (E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0))
3634, 35syl6rbb 304 . . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> ((E.z e. (BaseSet` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
3724, 36bitrd 290 . . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
3837abbidv 2209 . . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | x = 0} = {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))})
3910, 38syl5req 2138 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0})
4039supeq1d 6064 . . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> sup({x | E.z e. (BaseSet` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
419, 40eqtrd 2124 . 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({0}, RR*, < ))
42 rexr 7227 . . . 4 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
4314, 42ax-mp 7 . . 3 |- 0 e. RR*
44 xrltso 8270 . . . 4 |- < Or RR*
4544supsn 6085 . . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
4643, 45ax-mp 7 . 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
4741, 46syl6eq 2144 1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 209   /\ wa 418   = wceq 1592   e. wcel 1594  {cab 2079  E.wrex 2311  {csn 3233   class class class wbr 3509  -->wf 4145  ` cfv 4149  (class class class)co 5067  supcsup 6058  RRcr 7105  0cc0 7106  1c1 7107   <_ cle 7214  RR*cxr 7217   < clt 7218  NrmCVeccnv 11099  BaseSetcba 11101  0veccn0v 11103  normcnm 11105  normOpcnmo 11296   0op c0o 11298
This theorem is referenced by:  0blo 11347  nmlno0lem 11348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1516  ax-6 1517  ax-7 1518  ax-gen 1519  ax-8 1596  ax-10 1597  ax-11 1598  ax-12 1599  ax-13 1600  ax-14 1601  ax-17 1608  ax-9 1620  ax-4 1626  ax-16 1803  ax-15 1966  ax-ext 2074  ax-rep 3599  ax-sep 3609  ax-nul 3619  ax-pow 3655  ax-pr 3679  ax-un 3947  ax-inf2 6137  ax-resscn 7160  ax-1cn 7161  ax-icn 7162  ax-addcl 7163  ax-addrcl 7164  ax-mulcl 7165  ax-mulrcl 7166  ax-mulcom 7167  ax-addass 7168  ax-mulass 7169  ax-distr 7170  ax-i2m1 7171  ax-1ne0 7172  ax-1rid 7173  ax-rnegex 7174  ax-rrecex 7175  ax-cnre 7176  ax-pre-lttri 7177  ax-pre-lttrn 7178  ax-pre-ltadd 7179  ax-pre-mulgt0 7180  ax-pre-sup 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-or 419  df-an 420  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1468  df-ex 1521  df-sb 1765  df-eu 1992  df-mo 1993  df-clab 2080  df-cleq 2085  df-clel 2088  df-ne 2220  df-nel 2221  df-ral 2314  df-rex 2315  df-reu 2316  df-rab 2317  df-v 2501  df-sbc 2671  df-csb 2745  df-dif 2804  df-un 2806  df-in 2808  df-ss 2810  df-pss 2812  df-nul 3066  df-if 3166  df-pw 3222  df-sn 3237  df-pr 3238  df-tp 3240  df-op 3241  df-uni 3365  df-int 3399  df-iun 3437  df-br 3510  df-opab 3568  df-tr 3583  df-eprel 3762  df-id 3765  df-po 3770  df-so 3782  df-fr 3800  df-we 3816  df-ord 3832  df-on 3833  df-lim 3834  df-suc 3835  df-om 4104  df-xp 4151  df-rel 4152  df-cnv 4153  df-co 4154  df-dm 4155  df-rn 4156  df-res 4157  df-ima 4158  df-fun 4159  df-fn 4160  df-f 4161  df-f1 4162  df-fo 4163  df-f1o 4164  df-fv 4165  df-opr 5069  df-oprab 5070  df-mpt 5202  df-mpt2 5203  df-1st 5268  df-2nd 5269  df-iota 5374  df-rdg 5460  df-er 5637  df-map 5705  df-en 5752  df-dom 5753  df-sdom 5754  df-riota 5896  df-sup 6059  df-pnf 7219  df-mnf 7220  df-xr 7221  df-ltxr 7222  df-le 7223  df-sub 7347  df-neg 7349  df-div 7564  df-n 7769  df-2 7816  df-3 7817  df-rp 7941  df-n0 8005  df-z 8044  df-uz 8143  df-q 8217  df-seq 8586  df-exp 8721  df-cj 8839  df-re 8840  df-im 8841  df-sqr 8926  df-abs 8927  df-grpo 10875  df-gid 10876  df-ginv 10877  df-ablo 10968  df-vc 11061  df-nv 11107  df-va 11110  df-ba 11111  df-sm 11112  df-0v 11113  df-nm 11115  df-nmo 11300  df-0o 11302
Copyright terms: Public domain