Theorem nmobndseqi 8400

Description: A bounded sequence determines a bounded operator.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = (Base` U)
nmoubi.y	|- Y = (Base` W)
nmoubi.l	|- L = (norm` U)
nmoubi.m	|- M = (norm` W)
nmoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmobndseqi	|- ((T:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k)) -> (N` T) e. RR)

Distinct variable groups:   f,k,L   f,M,k   k,N   T,f,k   f,X,k   k,Y

Proof of Theorem nmobndseqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nmoubi.y	. . . 4 |- Y = (Base` W)
3		nmoubi.l	. . . 4 |- L = (norm` U)
4		nmoubi.m	. . . 4 |- M = (norm` W)
5		nmoubi.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
6		nmoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7		nmoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmobndi 8398	. . 3 |- (T:X-->Y -> ((N` T) e. RR <-> E.k e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k)))
9		impexp 347	. . . . . 6 |- (((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) <-> (f:NN-->X -> (A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1 -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k)))
10		r19.35 1757	. . . . . . 7 |- (E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k) <-> (A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1 -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k))
11	10	imbi2i 185	. . . . . 6 |- ((f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)) <-> (f:NN-->X -> (A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1 -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k)))
12	9, 11	bitr4 176	. . . . 5 |- (((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) <-> (f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)))
13	12	albii 998	. . . 4 |- (A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) <-> A.f(f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)))
14		nnex 5891	. . . . . 6 |- NN e. V
15		fveq2 3719	. . . . . . . 8 |- (y = (f` k) -> (L` y) = (L` (f` k)))
16	15	breq1d 2625	. . . . . . 7 |- (y = (f` k) -> ((L` y) <_ 1 <-> (L` (f` k)) <_ 1))
17		fveq2 3719	. . . . . . . . 9 |- (y = (f` k) -> (T` y) = (T` (f` k)))
18	17	fveq2d 3723	. . . . . . . 8 |- (y = (f` k) -> (M` (T` y)) = (M` (T` (f` k))))
19	18	breq1d 2625	. . . . . . 7 |- (y = (f` k) -> ((M` (T` y)) <_ k <-> (M` (T` (f` k))) <_ k))
20	16, 19	imbi12d 625	. . . . . 6 |- (y = (f` k) -> (((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k) <-> ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)))
21	14, 20	ac6n 4740	. . . . 5 |- (A.f(f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)) -> E.k e. NN A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k))
22		nnret 5887	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. RR)
23	22	anim1i 334	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k)) -> (k e. RR /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k)))
24	23	r19.22i2 1731	. . . . 5 |- (E.k e. NN A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k) -> E.k e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k))
25	21, 24	syl 10	. . . 4 |- (A.f(f:NN-->X -> E.k e. NN ((L` (f` k)) <_ 1 -> (M` (T` (f` k))) <_ k)) -> E.k e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k))
26	13, 25	sylbi 199	. . 3 |- (A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) -> E.k e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ k))
27	8, 26	syl5bir 210	. 2 |- (T:X-->Y -> (A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k) -> (N` T) e. RR))
28	27	imp 350	1 |- ((T:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (L` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (M` (T` (f` k))) <_ k)) -> (N` T) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  E.wrex 1644   class class class wbr 2615  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  RRcr 5216  1c1 5218   <_ cle 5278  NNcn 5279  NrmCVeccnv 8167  Basecba 8169  normcnm 8173  normOpcnmo 8364

This theorem is referenced by:  htthlem12 8589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-nm 8183  df-nmo 8368

Copyright terms: Public domain