Theorem nmolb 8430

Description: A lower bound for an operator norm.

Hypotheses

Ref	Expression
nmolb.1	|- X = (Base` U)
nmolb.2	|- Y = (Base` W)
nmolb.l	|- L = (norm` U)
nmolb.m	|- M = (norm` W)
nmolb.3	|- N = (UnormOpW)

Assertion

Ref	Expression
nmolb	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ (A e. X /\ (L` A) <_ 1)) -> (M` (T` A)) <_ (N` T))

Proof of Theorem nmolb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrub 6100	. . 3 |- (({x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))} (_ RR* /\ (M` (T` A)) e. {x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))}) -> (M` (T` A)) <_ sup({x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))}, RR*, < ))
2		nmolb.2	. . . . . 6 |- Y = (Base` W)
3		nmolb.m	. . . . . 6 |- M = (norm` W)
4	2, 3	nmosetre 8423	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))} (_ RR)
5		ressxr 5510	. . . . . 6 |- RR (_ RR*
6	5	a1i 8	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> RR (_ RR*)
7	4, 6	sstrd 2077	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))} (_ RR*)
8	7	3adant1 799	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))} (_ RR*)
9		fveq2 3730	. . . . . . . 8 |- (y = A -> (L` y) = (L` A))
10	9	breq1d 2634	. . . . . . 7 |- (y = A -> ((L` y) <_ 1 <-> (L` A) <_ 1))
11		fveq2 3730	. . . . . . . . 9 |- (y = A -> (T` y) = (T` A))
12	11	fveq2d 3734	. . . . . . . 8 |- (y = A -> (M` (T` y)) = (M` (T` A)))
13	12	eqeq2d 1489	. . . . . . 7 |- (y = A -> ((M` (T` A)) = (M` (T` y)) <-> (M` (T` A)) = (M` (T` A))))
14	10, 13	anbi12d 630	. . . . . 6 |- (y = A -> (((L` y) <_ 1 /\ (M` (T` A)) = (M` (T` y))) <-> ((L` A) <_ 1 /\ (M` (T` A)) = (M` (T` A)))))
15		eqid 1478	. . . . . . 7 |- (M` (T` A)) = (M` (T` A))
16	15	biantru 726	. . . . . 6 |- ((L` A) <_ 1 <-> ((L` A) <_ 1 /\ (M` (T` A)) = (M` (T` A))))
17	14, 16	syl6bbr 540	. . . . 5 |- (y = A -> (((L` y) <_ 1 /\ (M` (T` A)) = (M` (T` y))) <-> (L` A) <_ 1))
18	17	rcla4ev 1880	. . . 4 |- ((A e. X /\ (L` A) <_ 1) -> E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ (M` (T` A)) = (M` (T` y))))
19		fvex 3738	. . . . 5 |- (M` (T` A)) e. V
20		eqeq1 1484	. . . . . . 7 |- (x = (M` (T` A)) -> (x = (M` (T` y)) <-> (M` (T` A)) = (M` (T` y))))
21	20	anbi2d 618	. . . . . 6 |- (x = (M` (T` A)) -> (((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y))) <-> ((L` y) <_ 1 /\ (M` (T` A)) = (M` (T` y)))))
22	21	rexbidv 1667	. . . . 5 |- (x = (M` (T` A)) -> (E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y))) <-> E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ (M` (T` A)) = (M` (T` y)))))
23	19, 22	elab 1900	. . . 4 |- ((M` (T` A)) e. {x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))} <-> E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ (M` (T` A)) = (M` (T` y))))
24	18, 23	sylibr 200	. . 3 |- ((A e. X /\ (L` A) <_ 1) -> (M` (T` A)) e. {x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))})
25	1, 8, 24	syl2an 456	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ (A e. X /\ (L` A) <_ 1)) -> (M` (T` A)) <_ sup({x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))}, RR*, < ))
26		nmolb.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
27		nmolb.l	. . . 4 |- L = (norm` U)
28		nmolb.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
29	26, 2, 27, 3, 28	nmoval 8422	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) = sup({x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))}, RR*, < ))
30	29	adantr 391	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ (A e. X /\ (L` A) <_ 1)) -> (N` T) = sup({x | E.y e. X ((L` y) <_ 1 /\ x = (M` (T` y)))}, RR*, < ))
31	25, 30	breqtrrd 2646	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ (A e. X /\ (L` A) <_ 1)) -> (M` (T` A)) <_ (N` T))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  RRcr 5245  1c1 5247   <_ cle 5307  RR*cxr 5497   < clt 5498  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  normcnm 8205  normOpcnmo 8398

This theorem is referenced by:  nmobndi 8434  nmblolbii 8455

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-grp 8034  df-gid 8035  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-nmo 8402

Copyright terms: Public domain