MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem2 Structured version   Unicode version

Theorem nmoleub2lem2 19162
Description: Lemma for nmoleub2a 19163 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2a.5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
nmoleub2lem2.6  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x ) O R  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
nmoleub2lem2.7  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( L `  x
) O R ) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
) O R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, N    x, M    ph, x    x, S    x, V    x, R
Allowed substitution hints:    T( x)    G( x)    K( x)    O( x)

Proof of Theorem nmoleub2lem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmoleub2.v . 2  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmoleub2.l . 2  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmoleub2.m . 2  |-  M  =  ( norm `  T
)
5 nmoleub2.g . 2  |-  G  =  (Scalar `  S )
6 nmoleub2.w . 2  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 nmoleub2.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
8 nmoleub2.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
9 nmoleub2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 nmoleub2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
12 lmghm 16145 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
14 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
1513, 14ghmid 15050 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
169, 12, 153syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T ) )
1716fveq2d 5767 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
18 inss1 3549 . . . . . . . . 9  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
1918, 8sseldi 3335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
20 nlmngp 18751 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
214, 14nm0 18711 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
2317, 22eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
2423adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
2524oveq1d 6132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  =  ( 0  /  R ) )
2611adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  e.  RR+ )
2726rpcnd 10688 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  e.  CC )
2826rpne0d 10691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  =/=  0 )
2927, 28div0d 9827 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( 0  /  R
)  =  0 )
3025, 29eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  =  0 )
3118, 7sseldi 3335 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
32 nlmngp 18751 . . . . . . 7  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
34 ngpgrp 18684 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
352, 13grpidcl 14871 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  V )
3633, 34, 353syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  S
)  e.  V )
3736adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( 0g `  S
)  e.  V )
382, 3nmcl 18700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
3933, 38sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
4011adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR+ )
4140rpred 10686 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR )
42 nmoleub2lem2.7 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( L `  x
) O R ) )
4339, 41, 42syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
)  <  R  ->  ( L `  x ) O R ) )
4443imim1d 72 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
4544ralimdva 2791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  V  ( ( L `
 x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
4645imp 420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )
473, 13nm0 18711 . . . . . . 7  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
4831, 32, 473syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
4948adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
5026rpgt0d 10689 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
0  <  R )
5149, 50eqbrtrd 4263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( L `  ( 0g `  S ) )  <  R )
52 fveq2 5763 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  x )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
5352breq1d 4253 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( L `  x
)  <  R  <->  ( L `  ( 0g `  S
) )  <  R
) )
54 fveq2 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
5554fveq2d 5767 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
5655oveq1d 6132 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  ( 0g `  S ) ) )  /  R
) )
5756breq1d 4253 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A  <->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  /  R )  <_  A
) )
5853, 57imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  <->  ( ( L `  ( 0g `  S ) )  < 
R  ->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  /  R )  <_  A
) ) )
5958rspcv 3057 . . . 4  |-  ( ( 0g `  S )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  -> 
( ( L `  ( 0g `  S ) )  <  R  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
6037, 46, 51, 59syl3c 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  <_  A )
6130, 60eqbrtrrd 4265 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
0  <_  A )
62 simp-4l 744 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  ph )
6362, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
6462, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
6562, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
6662, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A  e.  RR* )
6762, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  R  e.  RR+ )
68 nmoleub2a.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
6962, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  QQ  C_  K )
70 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
71 simpllr 737 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A  e.  RR )
7261ad3antrrr 712 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  0  <_  A )
73 simplrl 738 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  y  e.  V )
74 simplrr 739 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  y  =/=  ( 0g `  S
) )
7546ad3antrrr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )
76 fveq2 5763 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( L `  x )  =  ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )
7776breq1d 4253 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( L `  x
)  <  R  <->  ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R
) )
78 fveq2 5763 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )
7978fveq2d 5767 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  ( z
( .s `  S
) y ) ) ) )
8079oveq1d 6132 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R ) )
8180breq1d 4253 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A  <->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) )
8277, 81imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  <->  ( ( L `  ( z
( .s `  S
) y ) )  <  R  ->  (
( M `  ( F `  ( z
( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
8382rspccv 3058 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  V  (
( L `  x
)  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  A )  -> 
( ( z ( .s `  S ) y )  e.  V  ->  ( ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
8475, 83syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  (
( z ( .s
`  S ) y )  e.  V  -> 
( ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
85 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  -.  ( M `  ( F `
 y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y ) ) )
861, 2, 3, 4, 5, 6, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 84, 85nmoleub2lem3 19161 . . 3  |-  -.  (
( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )
87 iman 415 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )  <->  -.  (
( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) ) )
8886, 87mpbir 202 . 2  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
) O R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
)  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
89 nmoleub2lem2.6 . . 3  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x ) O R  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
9039, 41, 89syl2anc 644 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
) O R  -> 
( L `  x
)  <_  R )
)
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 61, 88, 90nmoleub2lem 19160 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
) O R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   A.wral 2712    i^i cin 3308    C_ wss 3309   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   RRcr 9027   0cc0 9028    x. cmul 9033   RR*cxr 9157    < clt 9158    <_ cle 9159    / cdiv 9715   QQcq 10612   RR+crp 10650   Basecbs 13507  Scalarcsca 13570   .scvsca 13571   0gc0g 13761   Grpcgrp 14723    GrpHom cghm 15041   LMHom clmhm 16133   normcnm 18662  NrmGrpcngp 18663  NrmModcnlm 18666   normOpcnmo 18777  CModcclm 19125
This theorem is referenced by:  nmoleub2a  19163  nmoleub2b  19164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-ico 10960  df-fz 11082  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-topgen 13705  df-0g 13765  df-mnd 14728  df-grp 14850  df-subg 14979  df-ghm 15042  df-cmn 15452  df-mgp 15687  df-rng 15701  df-cring 15702  df-subrg 15904  df-lmod 15990  df-lmhm 16136  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-cnfld 16742  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-topsp 17005  df-xms 18388  df-ms 18389  df-nm 18668  df-ngp 18669  df-nlm 18672  df-nmo 18780  df-nghm 18781  df-clm 19126
  Copyright terms: Public domain W3C validator