HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopadjlei Unicode version

Theorem nmopadjlei 23439
Description: Property of the norm of an adjoint. Part of proof of Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopadjle.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopadjlei  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  A
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )

Proof of Theorem nmopadjlei
Dummy variables  f 
g  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdopssadj 23432 . . . . . 6  |-  BndLinOp  C_  dom  adjh
2 nmopadjle.1 . . . . . 6  |-  T  e.  BndLinOp
31, 2sselii 3288 . . . . 5  |-  T  e. 
dom  adjh
4 adjvalval 23288 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  A )  =  ( iota_ f  e. 
~H A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  A
)  =  ( v 
.ih  f ) ) )
53, 4mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  A )  =  (
iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  A )  =  ( v  .ih  f ) ) )
6 oveq2 6028 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
( T `  v
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 v )  .ih  A ) )
76eqeq1d 2395 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( T `  v )  .ih  z
)  =  ( v 
.ih  f )  <->  ( ( T `  v )  .ih  A )  =  ( v  .ih  f ) ) )
87ralbidv 2669 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  z
)  =  ( v 
.ih  f )  <->  A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  A )  =  ( v 
.ih  f ) ) )
98riotabidv 6487 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  z )  =  ( v  .ih  f ) )  =  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  A )  =  ( v  .ih  f ) ) )
10 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( z  e.  ~H  |->  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  z )  =  ( v  .ih  f ) ) )  =  ( z  e.  ~H  |->  (
iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  z )  =  ( v  .ih  f ) ) )
11 riotaex 6489 . . . . 5  |-  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  A )  =  ( v 
.ih  f ) )  e.  _V
129, 10, 11fvmpt 5745 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( z  e.  ~H  |->  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  z )  =  ( v  .ih  f ) ) ) `
 A )  =  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  A )  =  ( v  .ih  f ) ) )
135, 12eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  A )  =  ( ( z  e.  ~H  |->  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  z )  =  ( v  .ih  f ) ) ) `
 A ) )
1413fveq2d 5672 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  A
) )  =  (
normh `  ( ( z  e.  ~H  |->  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  z )  =  ( v  .ih  f ) ) ) `  A
) ) )
15 inss1 3504 . . . 4  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  LinOp
16 lncnbd 23389 . . . . 5  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  =  BndLinOp
172, 16eleqtrri 2460 . . . 4  |-  T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )
1815, 17sselii 3288 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
19 inss2 3505 . . . 4  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  ConOp
2019, 17sselii 3288 . . 3  |-  T  e. 
ConOp
21 eqid 2387 . . 3  |-  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g ) 
.ih  z ) )  =  ( g  e. 
~H  |->  ( ( T `
 g )  .ih  z ) )
22 oveq2 6028 . . . . . 6  |-  ( f  =  w  ->  (
v  .ih  f )  =  ( v  .ih  w ) )
2322eqeq2d 2398 . . . . 5  |-  ( f  =  w  ->  (
( ( T `  v )  .ih  z
)  =  ( v 
.ih  f )  <->  ( ( T `  v )  .ih  z )  =  ( v  .ih  w ) ) )
2423ralbidv 2669 . . . 4  |-  ( f  =  w  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  z
)  =  ( v 
.ih  f )  <->  A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  z )  =  ( v  .ih  w ) ) )
2524cbvriotav 6497 . . 3  |-  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  z )  =  ( v  .ih  f ) )  =  ( iota_ w  e.  ~H A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  z )  =  ( v  .ih  w ) )
2618, 20, 21, 25, 10cnlnadjlem7 23424 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( z  e.  ~H  |->  ( iota_ f  e.  ~H A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  z )  =  ( v  .ih  f ) ) ) `  A
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
2714, 26eqbrtrd 4173 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  A
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    i^i cin 3262   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   dom cdm 4818   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   iota_crio 6478    x. cmul 8928    <_ cle 9054   ~Hchil 22270    .ih csp 22273   normhcno 22274   normopcnop 22296   ConOpccop 22297   LinOpclo 22298   BndLinOpcbo 22299   adjhcado 22306
This theorem is referenced by:  nmopadjlem  23440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435  ax-hcompl 22552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-lm 17215  df-t1 17300  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cfil 19079  df-cau 19080  df-cmet 19081  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-gdiv 21630  df-ablo 21718  df-subgo 21738  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-vs 21926  df-nmcv 21927  df-ims 21928  df-dip 22045  df-ssp 22069  df-ph 22162  df-cbn 22213  df-hnorm 22319  df-hba 22320  df-hvsub 22322  df-hlim 22323  df-hcau 22324  df-sh 22557  df-ch 22572  df-oc 22602  df-ch0 22603  df-shs 22658  df-pjh 22745  df-h0op 23099  df-nmop 23190  df-cnop 23191  df-lnop 23192  df-bdop 23193  df-unop 23194  df-hmop 23195  df-nmfn 23196  df-nlfn 23197  df-cnfn 23198  df-lnfn 23199  df-adjh 23200
  Copyright terms: Public domain W3C validator