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Theorem nmopcoadji 23592
Description: The norm of an operator composed with its adjoint. Part of Theorem 3.11(vi) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmopcoadj.1  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoadji  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )

Proof of Theorem nmopcoadji
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopcoadj.1 . . . . . . 7  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdlnb 23575 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
31, 2mpbi 200 . . . . . 6  |-  ( adjh `  T )  e.  BndLinOp
4 bdopf 23353 . . . . . 6  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
53, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
6 bdopf 23353 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
71, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
85, 7hocofi 23257 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T ) : ~H --> ~H
9 nmopre 23361 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
101, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1110resqcli 11455 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR
12 rexr 9119 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR  ->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  e.  RR* )
1311, 12ax-mp 8 . . . 4  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  e.  RR*
14 nmopub 23399 . . . 4  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  ( ( normop `  T
) ^ 2 )  e.  RR* )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  <_ 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) ) )
158, 13, 14mp2an 654 . . 3  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( (
( adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
165, 7hocoi 23255 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  =  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )
1716fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
1817adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  =  (
normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
197ffvelrni 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
205ffvelrni 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
21 normcl 22615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR )
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
2322adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
24 nmopre 23361 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR )
253, 24ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR
26 normcl 22615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
2719, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
28 remulcl 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  ( adjh `  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  ( T `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
2925, 27, 28sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3029adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  e.  RR )
3125, 10remulcli 9093 . . . . . . . 8  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
)  e.  RR )
333nmbdoplbi 23515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3419, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3534adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) ) )
3627adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR )
3710a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
38 normcl 22615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
39 remulcl 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
4010, 38, 39sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
421nmbdoplbi 23515 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  x ) ) )
44 1re 9079 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
45 nmopge0 23402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
461, 6, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( normop `  T )
4710, 46pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
)
48 lemul2a 9854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  T )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  T )
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
4947, 48mp3anl3 1275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5044, 49mpanl2 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5138, 50sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  1 ) )
5210recni 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5352mulid1i 9081 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
normop `  T )  x.  1 )  =  (
normop `  T )
5451, 53syl6breq 4243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  T
) )
5536, 41, 37, 43, 54letrd 9216 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)
56 nmopge0 23402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
adjh `  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_ 
( normop `  ( adjh `  T ) ) )
573, 4, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) )
5825, 57pm3.2i 442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) )
59 lemul2a 9854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  ( adjh `  T ) ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6058, 59mp3anl3 1275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( normop `  T )  e.  RR )  /\  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( normop `  T )
)  ->  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6136, 37, 55, 60syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normh `  ( T `  x ) ) )  <_  ( ( normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) ) )
6223, 30, 32, 35, 61letrd 9216 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
6318, 62eqbrtrd 4224 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( adjh `  T ) )  x.  ( normop `  T )
) )
641nmopadji 23581 . . . . . . 7  |-  ( normop `  ( adjh `  T
) )  =  (
normop `  T )
6564oveq1i 6082 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
)  x.  ( normop `  T ) )
6652sqvali 11449 . . . . . 6  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normop `  T )
)
6765, 66eqtr4i 2458 . . . . 5  |-  ( (
normop `  ( adjh `  T
) )  x.  ( normop `  T ) )  =  ( ( normop `  T
) ^ 2 )
6863, 67syl6breq 4243 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  T ) ^ 2 ) )
6968ex 424 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
)  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 ) ) )
7015, 69mprgbir 2768 . 2  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )
71 nmopge0 23402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
728, 71ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )
733, 1bdopcoi 23589 . . . . . . . . 9  |-  ( (
adjh `  T )  o.  T )  e.  BndLinOp
74 nmopre 23361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( adjh `  T
)  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR )
7573, 74ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR
7675sqrcli 12163 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR )
77 rexr 9119 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  ->  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )
7872, 76, 77mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR*
79 nmopub 23399 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  (
normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) ) )
807, 78, 79mp2an 654 . . . . 5  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ) )
8119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  e.  ~H )
82 hicl 22570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8381, 82mpancom 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  e.  CC )
8483abscld 12226 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8584adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  e.  RR )
8622, 38remulcld 9105 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8786adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
8875a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  RR )
89 bcs 22671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9081, 89mpancom 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) ) )
925, 7hococli 23256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H )
93 normcl 22615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x )  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) )  e.  RR )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9594adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  e.  RR )
9638adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
97 normge0 22616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  e. 
~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) ) )
9819, 20, 973syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) )
9922, 98jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
10099adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )
101 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
102 lemul2a 9854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10344, 102mp3anl2 1274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( ( normh `  (
( adjh `  T ) `  ( T `  x
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) ) ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x
) )  <_  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10496, 100, 101, 103syl21anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 ) )
10522recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
) )  e.  CC )
106105mulid1d 9094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) ) ) )
107106, 17eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
108107adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( normh `  ( ( ( adjh `  T )  o.  T
) `  x )
) )
109104, 108breqtrd 4228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normh `  (
( ( adjh `  T
)  o.  T ) `
 x ) ) )
110 remulcl 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
11175, 38, 110sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
112111adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
11373nmbdoplbi 23515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
114113adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
) )
11575, 72pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
116 lemul2a 9854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
117115, 116mp3anl3 1275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
11844, 117mpanl2 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  1 ) )
11938, 118sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  x.  1 ) )
12075recni 9091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  e.  CC
121120mulid1i 9081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  x.  1 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
122119, 121syl6breq 4243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) )  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12395, 112, 88, 114, 122letrd 9216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( (
adjh `  T )  o.  T ) `  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
12487, 95, 88, 109, 123letrd 9216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x ) ) )  x.  ( normh `  x ) )  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
12585, 87, 88, 91, 124letrd 9216 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( (
adjh `  T ) `  ( T `  x
) )  .ih  x
) )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
126 resqcl 11437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  e.  RR )
127 sqge0 11446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
128126, 127absidd 12213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )  =  ( (
normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
12919, 26, 1283syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 ) )
130 normsq 22624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
13119, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) ) )
132 bdopadj 23573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh )
1333, 132ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  T )  e.  dom  adjh
134 adj2 23425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh  /\  ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
135133, 134mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T ) ) `
 x ) ) )
13619, 135mpancom 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) ) )
137 bdopadj 23573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
138 adjadj 23427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  ( adjh `  T ) )  =  T )
1391, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( adjh `  ( adjh `  T
) )  =  T
140139fveq1i 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
adjh `  ( adjh `  T ) ) `  x )  =  ( T `  x )
141140oveq2i 6083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  x ) 
.ih  ( ( adjh `  ( adjh `  T
) ) `  x
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )
142136, 141syl6req 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( ( ( adjh `  T ) `  ( T `  x )
)  .ih  x )
)
143131, 142eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) )
144143fveq2d 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( normh `  ( T `  x
) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
145129, 144eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
146145adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( abs `  ( ( ( adjh `  T
) `  ( T `  x ) )  .ih  x ) ) )
14775sqsqri 12167 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
1488, 71, 147mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
149148a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )  =  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
150125, 146, 1493brtr4d 4234 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
151 normge0 22616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
15219, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  x ) ) )
1538, 71, 76mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  e.  RR
15475sqrge0i 12168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) )
1558, 71, 154mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )
156 le2sq 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( T `  x )
) )  /\  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
157153, 155, 156mpanr12 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( T `  x ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normh `  ( T `  x )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
15827, 152, 157syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
159158adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normh `  ( T `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
160150, 159mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
161160ex 424 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( normh `  ( T `  x
) )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ) )
16280, 161mprgbir 2768 . . . 4  |-  ( normop `  T )  <_  ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) )
16310, 153le2sqi 11459 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( normop `  T
)  /\  0  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )  -> 
( ( normop `  T
)  <_  ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) )  <-> 
( ( normop `  T
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) ) )
16446, 155, 163mp2an 654 . . . 4  |-  ( (
normop `  T )  <_ 
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) )  <->  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( normop `  (
( adjh `  T )  o.  T ) ) ) ^ 2 ) )
165162, 164mpbi 200 . . 3  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) ^ 2 )
166165, 148breqtri 4227 . 2  |-  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )
16775, 11letri3i 9178 . 2  |-  ( (
normop `  ( ( adjh `  T )  o.  T
) )  =  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  <->  ( ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  <_  ( ( normop `  T ) ^ 2 )  /\  ( (
normop `  T ) ^
2 )  <_  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) ) ) )
16870, 166, 167mpbir2an 887 1  |-  ( normop `  ( ( adjh `  T
)  o.  T ) )  =  ( (
normop `  T ) ^
2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204   dom cdm 4869    o. ccom 4873   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    x. cmul 8984   RR*cxr 9108    <_ cle 9110   2c2 10038   ^cexp 11370   sqrcsqr 12026   abscabs 12027   ~Hchil 22410    .ih csp 22413   normhcno 22414   normopcnop 22436   BndLinOpcbo 22439   adjhcado 22446
This theorem is referenced by:  nmopcoadj2i  23593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575  ax-hcompl 22692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-lm 17281  df-t1 17366  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-subgo 21878  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-dip 22185  df-ssp 22209  df-lno 22233  df-nmoo 22234  df-0o 22236  df-ph 22302  df-cbn 22353  df-hnorm 22459  df-hba 22460  df-hvsub 22462  df-hlim 22463  df-hcau 22464  df-sh 22697  df-ch 22712  df-oc 22742  df-ch0 22743  df-shs 22798  df-pjh 22885  df-h0op 23239  df-nmop 23330  df-cnop 23331  df-lnop 23332  df-bdop 23333  df-unop 23334  df-hmop 23335  df-nmfn 23336  df-nlfn 23337  df-cnfn 23338  df-lnfn 23339  df-adjh 23340
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