Theorem nmopge0t 9792

Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative.

Assertion

Ref	Expression
nmopge0t	|- (T:H~-->H~ -> 0 <_ (normop` T))

Proof of Theorem nmopge0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 8828	. . . 4 |- 0h e. H~
2		ffvelrn 3809	. . . 4 |- ((T:H~-->H~ /\ 0h e. H~) -> (T` 0h) e. H~)
3	1, 2	mpan2 695	. . 3 |- (T:H~-->H~ -> (T` 0h) e. H~)
4		normge0t 8947	. . 3 |- ((T` 0h) e. H~ -> 0 <_ (normh` (T` 0h)))
5	3, 4	syl 10	. 2 |- (T:H~-->H~ -> 0 <_ (normh` (T` 0h)))
6		norm0 8950	. . . 4 |- (normh` 0h) = 0
7		0re 5423	. . . . 5 |- 0 e. RR
8		1re 5418	. . . . 5 |- 1 e. RR
9		lt01 5663	. . . . 5 |- 0 < 1
10	7, 8, 9	ltlei 5564	. . . 4 |- 0 <_ 1
11	6, 10	eqbrtr 2630	. . 3 |- (normh` 0h) <_ 1
12		nmoplbt 9788	. . 3 |- ((T:H~-->H~ /\ 0h e. H~ /\ (normh` 0h) <_ 1) -> (normh` (T` 0h)) <_ (normop` T))
13	1, 11, 12	mp3an23 907	. 2 |- (T:H~-->H~ -> (normh` (T` 0h)) <_ (normop` T))
14		rexrt 5482	. . . . 5 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
15	7, 14	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 e. RR*
16		xrletrt 5547	. . . 4 |- ((0 e. RR* /\ (normh` (T` 0h)) e. RR* /\ (normop` T) e. RR*) -> ((0 <_ (normh` (T` 0h)) /\ (normh` (T` 0h)) <_ (normop` T)) -> 0 <_ (normop` T)))
17	15, 16	mp3an1 902	. . 3 |- (((normh` (T` 0h)) e. RR* /\ (normop` T) e. RR*) -> ((0 <_ (normh` (T` 0h)) /\ (normh` (T` 0h)) <_ (normop` T)) -> 0 <_ (normop` T)))
18		normclt 8946	. . . 4 |- ((T` 0h) e. H~ -> (normh` (T` 0h)) e. RR)
19		rexrt 5482	. . . 4 |- ((normh` (T` 0h)) e. RR -> (normh` (T` 0h)) e. RR*)
20	3, 18, 19	3syl 20	. . 3 |- (T:H~-->H~ -> (normh` (T` 0h)) e. RR*)
21		nmopxrt 9750	. . 3 |- (T:H~-->H~ -> (normop` T) e. RR*)
22	17, 20, 21	sylanc 471	. 2 |- (T:H~-->H~ -> ((0 <_ (normh` (T` 0h)) /\ (normh` (T` 0h)) <_ (normop` T)) -> 0 <_ (normop` T)))
23	5, 13, 22	mp2and 702	1 |- (T:H~-->H~ -> 0 <_ (normop` T))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957   class class class wbr 2615  -->wf 3174  ` cfv 3178  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   <_ cle 5278  RR*cxr 5468  H~chil 8743  0hc0v 8746  normhcno 8749  norm_opcnop 8769

This theorem is referenced by:  nmopgt0t 9793  nmophm 9917  cnlnadjlem7 9962  nmopadjlem 9978  nmopcoadj 9990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-nm 8183  df-hnorm 8792  df-hvsub 8795  df-nmop 9722

Copyright terms: Public domain