Theorem nmopub2tALT 9790

Description: An upper bound for an operator norm.

Assertion

Ref	Expression
nmopub2tALT	|- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normop` T) <_ A)

Distinct variable groups:   x,A   x,T

Proof of Theorem nmopub2tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 5418	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
2		lemul2itOLD 5806	. . . . . . . . . . 11 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
3	1, 2	mp3anl2 910	. . . . . . . . . 10 |- ((((normh` x) e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
4		normclt 8946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. RR)
5	4	anim1i 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. H~ /\ A e. RR) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
6	5	ancoms 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
7	6	adantlr 393	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
8	7	adantll 392	. . . . . . . . . . 11 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
9	8	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
10		id 59	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
11	10	adantll 392	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
12	11	adantll 392	. . . . . . . . . . 11 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
13	12	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
14	3, 9, 13	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
15		recnt 5296	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> A e. CC)
16		ax1id 5265	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
17	15, 16	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> (A x. 1) = A)
18	17	ad2antrl 406	. . . . . . . . . 10 |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. 1) = A)
19	18	ad2antrr 404	. . . . . . . . 9 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. 1) = A)
20	14, 19	breqtrd 2635	. . . . . . . 8 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ A)
21		letrt 5508	. . . . . . . . . 10 |- (((normh` (T` x)) e. RR /\ (A x. (normh` x)) e. RR /\ A e. RR) -> (((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (normh` (T` x)) <_ A))
22		ffvelrn 3809	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
23		normclt 8946	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T` x) e. H~ -> (normh` (T` x)) e. RR)
24	22, 23	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (normh` (T` x)) e. RR)
25	24	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (normh` (T` x)) e. RR)
26		axmulrcl 5257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
27	26, 4	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
28	27	adantlr 393	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
29	28	adantll 392	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
30		pm3.26 319	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR)
31	30	ad2antlr 405	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> A e. RR)
32	21, 25, 29, 31	syl3anc 857	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (normh` (T` x)) <_ A))
33	32	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (normh` (T` x)) <_ A))
34	20, 33	mpan2d 701	. . . . . . 7 |- ((((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (normh` (T` x)) <_ A))
35	34	ex 373	. . . . . 6 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` x) <_ 1 -> ((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (normh` (T` x)) <_ A)))
36	35	com23 32	. . . . 5 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)))
37	36	r19.20dva 1707	. . . 4 |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)))
38	37	imp 350	. . 3 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A))
39		nmopubt 9789	. . . . 5 |- ((T:H~-->H~ /\ A e. RR* /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)) -> (normop` T) <_ A)
40		rexrt 5482	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. RR*)
41	40	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR*)
42	39, 41	syl3an2 859	. . . 4 |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)) -> (normop` T) <_ A)
43	42	3expa 832	. . 3 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (normh` (T` x)) <_ A)) -> (normop` T) <_ A)
44	38, 43	syldan 467	. 2 |- (((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normop` T) <_ A)
45	44	3impa 827	1 |- ((T:H~-->H~ /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ (normh` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normop` T) <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643   class class class wbr 2615  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   x. cmul 5222   <_ cle 5278  RR*cxr 5468  H~chil 8743  normhcno 8749  norm_opcnop 8769

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413