Theorem nmorepnf 8427

Description: The norm of an operator is either real or plus infinity.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoxr.1	|- X = (Base` U)
nmoxr.2	|- Y = (Base` W)
nmoxr.3	|- N = (UnormOpW)

Assertion

Ref	Expression
nmorepnf	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((N` T) e. RR <-> (N` T) =/= +oo))

Proof of Theorem nmorepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrre2 6096	. . . . 5 |- (({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR /\ {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} =/= (/)) -> (sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) e. RR <-> sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) =/= +oo))
2		nmoxr.2	. . . . . 6 |- Y = (Base` W)
3		eqid 1478	. . . . . 6 |- (norm` W) = (norm` W)
4	2, 3	nmosetre 8423	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR)
5		nmoxr.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
6		eqid 1478	. . . . . . 7 |- (0v` U) = (0v` U)
7		eqid 1478	. . . . . . 7 |- (norm` U) = (norm` U)
8	5, 6, 7	nmosetn0 8424	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))})
9		ne0i 2289	. . . . . 6 |- (((norm` W)` (T` (0v` U))) e. {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} =/= (/))
10	8, 9	syl 10	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} =/= (/))
11	1, 4, 10	syl2an 456	. . . 4 |- (((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ U e. NrmCVec) -> (sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) e. RR <-> sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) =/= +oo))
12	11	ancoms 438	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (W e. NrmCVec /\ T:X-->Y)) -> (sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) e. RR <-> sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) =/= +oo))
13	12	3impb 831	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) e. RR <-> sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) =/= +oo))
14		nmoxr.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
15	5, 2, 7, 3, 14	nmoval 8422	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) = sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
16	15	eleq1d 1543	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((N` T) e. RR <-> sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) e. RR))
17	15	eqeq1d 1486	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((N` T) = +oo <-> sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) = +oo))
18	17	necon3bid 1604	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((N` T) =/= +oo <-> sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ) =/= +oo))
19	13, 16, 18	3bitr4d 552	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((N` T) e. RR <-> (N` T) =/= +oo))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466   =/= wne 1588  E.wrex 1649   (_ wss 2050  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  RRcr 5245  1c1 5247   <_ cle 5307   +oocpnf 5495  RR*cxr 5497   < clt 5498  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  0vcn0v 8203  normcnm 8205  normOpcnmo 8398

This theorem is referenced by:  nmoreltpnf 8428  nmogtmnf 8429  nmounbi 8435

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-nmo 8402

Copyright terms: Public domain