Theorem nmosetre 8423

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmo 8402 is a set of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
nmosetre.2	|- Y = (Base` W)
nmosetre.4	|- N = (norm` W)

Assertion

Ref	Expression
nmosetre	|- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X ((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z)))} (_ RR)

Distinct variable groups:   x,z,T   x,W,z   x,X,z   x,Y,z

Proof of Theorem nmosetre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (x = (N` (T` z)) -> (x e. RR <-> (N` (T` z)) e. RR))
2		nmosetre.2	. . . . . . . . . 10 |- Y = (Base` W)
3		nmosetre.4	. . . . . . . . . 10 |- N = (norm` W)
4	2, 3	nvcl 8283	. . . . . . . . 9 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` z) e. Y) -> (N` (T` z)) e. RR)
5		ffvelrn 3820	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->Y /\ z e. X) -> (T` z) e. Y)
6	4, 5	sylan2 453	. . . . . . . 8 |- ((W e. NrmCVec /\ (T:X-->Y /\ z e. X)) -> (N` (T` z)) e. RR)
7	6	anassrs 443	. . . . . . 7 |- (((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ z e. X) -> (N` (T` z)) e. RR)
8	1, 7	syl5bir 210	. . . . . 6 |- (x = (N` (T` z)) -> (((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ z e. X) -> x e. RR))
9	8	impcom 351	. . . . 5 |- ((((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ z e. X) /\ x = (N` (T` z))) -> x e. RR)
10	9	adantrl 396	. . . 4 |- ((((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ z e. X) /\ ((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z)))) -> x e. RR)
11	10	exp31 378	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (z e. X -> (((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z))) -> x e. RR)))
12	11	r19.23adv 1749	. 2 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (E.z e. X ((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z))) -> x e. RR))
13	12	abssdv 2124	1 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X ((M` z) <_ 1 /\ x = (N` (T` z)))} (_ RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  RRcr 5245  1c1 5247   <_ cle 5307  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  normcnm 8205

This theorem is referenced by:  nmoxr 8425  nmoge0 8426  nmorepnf 8427  nmolb 8430  nmoubi 8431  nmlno0lem 8449  nmopsetretHIL 9786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain